Question

13．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交两坐标轴于A、B两点，OA＞OB，且OA、OB的长分别是一元二次方程x²-7x+12=0的两根．

（1）求cos∠ABO的值；
（2）以线段AB的长为边作正方形ABCD（如图所示），对角线AC、BD交于点E，∠CBD的平分线BF交AC于F，求CF的长；
（3）若点M是y轴上任一点，点N是坐标平面内一点，若以A、B、M、N为顶点的四边形是菱形，请直接写出N点的坐标．

Answer 1

分析 （1）解一元二次方程求出OA、OB的长，根据勾股定理求出AB的长，根据余弦的定义解答即可；
（2）过F作FH⊥BC于H，根据角平分线的性质和正方形的性质得到EF=HF=CH，设CF=x，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程求出x即可；
（3）分四边形ANMB为菱形，四边形AMNB为菱形，四边形AMBN为菱形，四边形ABNM为菱形四种情况，根据菱形的性质解答即可．

解答 解：（1）解一元二次方程x²-7x+12=0得，
x₁=3，x₂=4，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
由勾股定理得，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
∴cos∠ABO=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{3}{5}$；
（2）如图2，过F作FH⊥BC于H，
∵BF是∠CBD的平分线，
∴EF=HF，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴EF=HF=CH，又∵AB=5，
∴CE=5sin45°=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
设CF=x，则EF=HF=CH=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-x，
由勾股定理得，CF²=FH²+HC²，即x²=2（$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-x）²，
解得，x₁=5$\sqrt{2}$-5，x₂=5$\sqrt{2}$+5（舍去），
答：CF的长为5$\sqrt{2}$-5；
（3）如图3，四边形ANMB为菱形，
点N的坐标为（-3，0），
如图4，四边形AMNB为菱形，
则BN=AB=5，
点N的坐标为（3，-5），
如图5，四边形AMBN为菱形，
设AM=x，则BM=x，OM=4-x，
由勾股定理得，BM²=OM²+OB²，即x²=（4-x）²+3²，
解得，x=$\frac{25}{8}$，
点N的坐标为（3，$\frac{25}{8}$），
如图6，四边形ABNM为菱形，
BN=AB=5，
点N的坐标为（3，5），
以A、B、M、N为顶点的四边形是菱形，N点的坐标为（3，5）或（3，-5）或（-3，0）或（3，$\frac{25}{8}$）．

点评 本题考查的是正方形的性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质以及锐角三角函数的定义，正确运用定理和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．