Question

5．如图，已知⊙A与x轴交于A、D两点，与y轴正半轴交于B点，C是⊙M上一点，且A（-2，0），B（0，4），AB=BC．
（1）求圆心M的坐标．
（2）求四边形ABCD的面积．
（3）如图2，过C点作弦CF交BD于E点，当BC=BE时，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接BD．由△AOB∽△BOD，可得$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OB}{OD}$，求出OD即可解决问题；
（2）如图1中，连接BD、AC、BM交AC于K．由△BOM≌△AKM，推出OM=MK=3，KB=2，AK=BO=CK=4，由AD是直径，推出∠ACD=90°，推出CD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，根据S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD计算即可；
（3）如图3中，连接DF、AC、作CH⊥BD于H．由△CBH∽△DAC，推出$\frac{BC}{AD}$=$\frac{BH}{AC}$=$\frac{CH}{CD}$，可得$\frac{2\sqrt{5}}{10}$=$\frac{BH}{8}$=$\frac{CH}{6}$，推出CH=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，BH=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，由BC=BE=2$\sqrt{5}$，推出HE=BE-BH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，在Rt△CHE中，EC=$\sqrt{C{H}^{2}+H{E}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，由△CBE∽△DFE，可得$\frac{EC}{DE}$=$\frac{BE}{EF}$，求出EF即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，连接BD．
∵AD时直径，
∴∠ABD=90°，
∵∠ABO+∠DBO=90°，∠DBO+∠BDO=90°，
∴∠ABO=∠BDO，∵∠AOB=∠DOB=90°，
∴△AOB∽△BOD，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OB}{OD}$，
∵A（0，-2），B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∴OD=8，
∴AD=10，OM=3，
∴M（3，0）．

（2）如图1中，连接BD、AC、BM交AC于K．
∵AB=BC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴MB⊥AC，
∵∠BOM=∠AKM=90°∠BMO=∠AMK，MA=MB，
∴△BOM≌△AKM，
∴OM=MK=3，KB=2，AK=BO=CK=4，
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
∴CD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=$\frac{1}{2}$•AC•BK+$\frac{1}{2}$•AC•CD=$\frac{1}{2}$×8×2+$\frac{1}{2}$×6×8=32．

（3）如图3中，连接DF、AC、作CH⊥BD于H．
∵∠CBH=∠CAD，∠CHB=∠ACD=90°，
∴△CBH∽△DAC，
∴$\frac{BC}{AD}$=$\frac{BH}{AC}$=$\frac{CH}{CD}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{10}$=$\frac{BH}{8}$=$\frac{CH}{6}$，
∴CH=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，BH=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∵BC=BE=2$\sqrt{5}$，
∴HE=BE-BH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△CHE中，EC=$\sqrt{C{H}^{2}+H{E}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵∠CBE=∠F，∠BCE=∠EDF，
∴△CBE∽△DFE，
∴$\frac{EC}{DE}$=$\frac{BE}{EF}$，
∴$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{EF}$，
∴EF=5$\sqrt{2}$，
∴CF=CE+EF=2$\sqrt{2}$+5$\sqrt{2}$=7$\sqrt{2}$．

点评 本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理、垂径定理、直径的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．