Question

某工厂现有20台机器，每台机器平均每天生产160件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于某种原因，每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．
（1）如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式及自变量的取值范围；
（2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量是多少？
（3）要使生产总量增加300件，则机器增加的台数应该是多少台？

Answer 1

解：（1）y=（20+x）（160-4x）=-4x²+80x+3200，
当y=0时，x₁=0，x₂=20．
又因为-4＜0，
所以图象开口向下，y＞3200时，0＜x＜20．

（2）y=-4x²+80x+3200=-4（x-10）²+3600，
因为-4＜0，
所以当x=10时，y_最大=3600．
即增加10台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量是3600件．

（3）生产总量增加300件，
即y=3200+300=3500，
解方程-4x²+80x+3200=3500，得x₁=5，x₂=15，
所以要使生产总量增加300件，则机器增加的台数应该是5台或15台．
分析：（1）根据题意增加x台机器，每台每天将少生产4x件产品，生产量为（160-4x）件，此时机器数为（20+x）台，每天生产总量可求出；根据题意要提高生产总量，所以y＞160×20=3200，结合函数图象可求出x的取值范围；
（2）根据函数性质和顶点坐标公式求最值；
（3）生产总量增加300件，即y=3200+300=3500，解方程求解．
点评：此题求自变量的取值范围较难点，运用二次函数的性质结合图象、解方程解决二次不等式的问题，渗透了数形结合、方程与函数的解题思想和方法．