Question

6．如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=4，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆，半圆恰好经过三角形的直角顶点C，以点D为顶点，作90°的∠EDF，与半圆交于点E，F，则图中阴影部分的面积是π-2．

Answer 1

分析 连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，证明△DMG≌△DNH，则S_{四边形DGCH}=S_{四边形DMCN}，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．

解答 解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴DC=$\frac{1}{2}$AB=2，四边形DMCN是正方形，DM=$\sqrt{2}$．
则扇形FDE的面积是：$\frac{90π×{2}^{2}}{360}$=π．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴CD平分∠BCA，
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵∠GDH=∠MDN=90°，
∴∠GDM=∠HDN，
在△DMG和△DNH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DMG=∠DNH}\\{∠GDM=∠HDN}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴△DMG≌△DNH（AAS），
∴S_{四边形DGCH}=S_{四边形DMCN}=2．
则阴影部分的面积是：π-2．
故答案为：π-2．

点评 本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DMG≌△DNH，得到S_{四边形DGCH}=S_{四边形DMCN}是关键．