【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C(0,﹣),OA=1,OB=4,直线l过点A,交y轴于点D,交抛物线于点E,且满足tan∠OAD=.
(1)求抛物线的解析式;
(2)动点P从点B出发,沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动,动点Q从点A出发,沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动,当点P运动到点A时,点Q也停止运动,设运动时间为t秒.
①在P、Q的运动过程中,是否存在某一时刻t,使得△ADC与△PQA相似,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
②在P、Q的运动过程中,是否存在某一时刻t,使得△APQ与△CAQ的面积之和最大?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)抛物线的解析式为y=;(2)①存在t=或t=,使得△ADC与△PQA相似;②当t=时,△APQ与△CAQ的面积之和最大.
【解析】(1)应用待定系数法求解析式
(2)①分别用t表示△ADC、△PQA各边,应用分类讨论相似三角形比例式,求t值;
②分别用t表示△APQ与△CAQ的面积之和,讨论最大值.
(1)∵OA=1,OB=4,
∴A(1,0),B(﹣4,0),
设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x﹣1),
∵点C(0,﹣)在抛物线上,
∴﹣,
解得a=.
∴抛物线的解析式为y=.
(2)存在t,使得△ADC与△PQA相似.
理由:①在Rt△AOC中,OA=1,OC=,
则tan∠ACO=,
∵tan∠OAD=,
∴∠OAD=∠ACO,
∵直线l的解析式为y=,
∴D(0,﹣),
∵点C(0,﹣),
∴CD=,
由AC2=OC2+OA2,得AC=,
在△AQP中,AP=AB﹣PB=5﹣2t,AQ=t,
由∠PAQ=∠ACD,要使△ADC与△PQA相似,
只需或,
则有或,
解得t1=,t2=,
∵t1<2.5,t2<2.5,
∴存在t=或t=,使得△ADC与△PQA相似;
②存在t,使得△APQ与△CAQ的面积之和最大,
理由:作PF⊥AQ于点F,CN⊥AQ于N,
在△APF中,PF=APsin∠PAF=,
在△AOD中,由AD2=OD2+OA2,得AD=,
在△ADC中,由S△ADC= ,
∴CN=,
∴S△AQP+S△AQC= ,
∴当t=时,△APQ与△CAQ的面积之和最大.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在数轴上点表示的数是若动点从原点出发,以个单位/秒的速度向左运动;同时另一动点从点出发,以个单位/秒的速度也向左运动,到达原点后立即以原来的速度返回,向右运动,设运动的时间为(秒).
当时,求点到原点的距离;
当时,求点到原点的距离;
当点到原点的距离为时,求点到原点的距离.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】东东玩具商店用500元购进一批悠悠球,很受中小学生欢迎,悠悠球很快售完,接着又用900元购进第二批这种悠悠球,所购数量是第一批数量的1.5倍,但每套进价多了5元.
(1)求第一批悠悠球每套的进价是多少元;
(2)如果这两批悠悠球每套售价相同,且全部售完后总利润不低于25%,那么每套悠悠球的售价至少是多少元?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx﹣1经过点A(﹣2,1)和点B(﹣1,﹣1),抛物线C2:y=2x2+x+1,动直线x=t与抛物线C1交于点N,与抛物线C2交于点M.
(1)求抛物线C1的表达式;
(2)直接用含t的代数式表示线段MN的长;
(3)当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时,求t的值;
(4)在(3)的条件下,设抛物线C1与y轴交于点P,点M在y轴右侧的抛物线C2上,连接AM交y轴于点k,连接KN,在平面内有一点Q,连接KQ和QN,当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时,请直接写出点Q的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某蔬菜生产基地的气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度y (℃)与时间x(h)之间的函数关系,其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段,双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.
请根据图中信息解答下列问题:
(1)求这天的温度y与时间x(0≤x≤24)的函数关系式;
(2)求恒温系统设定的恒定温度;
(3)若大棚内的温度低于10℃时,蔬菜会受到伤害.问这天内,恒温系统最多可以关闭多少小时,才能使蔬菜避免受到伤害?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】有四张相同的卡片,分别写有数字2,0,1,5,将它们背面朝上(背面无差别)洗匀后放在桌上.
(1)从中任意抽出一张,抽到卡片上的数字为负数的概率;
(2)从中任意抽出两张,用树状图或表格列出所有可能的结果,并求抽出卡片上的数字积为正数的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,AB∥CD.
(1)用直尺和圆规按要求作图:作∠ACD的平分线CP,CP交AB于点P;作AF⊥CP,垂足为F.
(2)判断直线AF与线段CP的关系,并说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为10元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克,且10≤x≤18)之间的函数关系如图所示:
(1)求y(千克)与销售价z的函数关系式;
(2)该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少?
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com