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6.我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”.利用下面的作图,可以得到四边形的“好线”:如图1四边形ABCD中,取对角线BD的中点O,连接OA,OC,显然,折线AOC能平分四边形ABCD的面积,再过点O作OE∥AC交CD于E,则直线AE即为一条“好线”.
(1)如图1,试说明直线AE是“好线”的理由;
(2)如图2,AE为一条“好线”,F为AD边上的一点,请作出经过F点的“好线”,并说明理由;
(3)如图3,五边形ABCDE是一块土地的示意图,经过多年开垦荒地,现已变成如图3所示的形状,但原块土地与开垦荒地的分界小路(折线CDE)还保留着,现在请你过E点修一条直路.要求直路左边的土地面积与原来一样多(只需对作图适当说明无需说明理由)

分析 (1)如图1中,作AH⊥BC于H.由S△ABD=$\frac{1}{2}$•BD•AH,S△ADC=$\frac{1}{2}$•DC•AH,因为BD=CD,所以S△ABD=S△ADC,再判断出S四边形ABCO=$\frac{1}{2}$S四边形ABCD,进而判断出S△AOE=S△COE,推出S△AOF=S△CEF,即可推出直线AE平分四边形ABCD的面积;
(2)连接EF,过A作EF的平行线交CD于点G,连接FG,则GF为一条“好线”.由AG∥EF,推出S△AGE=S△AFG.设AE与FG的交点是O.则S△AOF=S△GOE,又AE为一条“好线”,所以GF为一条“好线”,
(3)连接CE,过点D作DF∥EC交CM于F,连接EF,即EF为所修的直路,利用夹在平行线间的距离处处相等得出
DG=FH,即可得出S△CDE=S△CEF,结论得证.

解答 解:(1)∵点O是BD的中点,
∴S△AOB=S△AOD,S△BOC=S△DOC
∴S△AOB+S△BOC=S△AOD+S△DOC=$\frac{1}{2}$S四边形ABCD
∴S四边形ABCO=$\frac{1}{2}$S四边形ABCD
∴折线AOC能平分四边形ABCD的面积,
设AE交OC于F.

∵OE∥AC,
∴S△AOE=S△COE
∴S△AOF=S△CEF
∵折线AOC能平分四边形ABCD的面积,
∴直线AE平分四边形ABCD的面积,即AE是四边形ABCD的一条“好线”. 

(2)连接EF,过A作EF的平行线交CD于点G,连接FG,则GF为一条“好线”.

∵AG∥EF,
∴S△AGE=S△AFG
设AE与FG的交点是O.则S△AOF=S△GOE
又AE为一条“好线”,所以GF为一条“好线”.
(3)如图3,
连接CE,过点D作DF∥EC交CM于F,连接EF,即EF为所修的直路,
理由:过点D作DG⊥CE于G,过点F作FH⊥EC于H,
∵DF∥EC,∴DG=FH(夹在平行线间的距离处处相等),
∵S△CDE=$\frac{1}{2}$EC×DG,S△CEF=$\frac{1}{2}$EC×FH,
∴S△CDE=S△CEF
∴S四边形ABCDE=S四边形ABCE+S△CDE=S四边形ABCE+S△CEF=S五边形ABCFE
即:直路左边的土地面积与原来一样多.

点评 本题考查四边形综合题、三角形中线的性质、平行线的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,理解同底等高的三角形面积相等,属于中考创新题目.

练习册系列答案
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2.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E,若AB=3,BC=4,则$\frac{AO}{AE}$的值为$\frac{7}{24}$.

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17.某广告公司欲招聘一名创作总监,对2名应试者进行了三项素质测试,他们的各项测试成绩如下表所示:
应试者测试成绩
创新能力计算机能力公关能力
 甲 72 50 88
 乙 85 74 45
如果公司赋予“创新能力”、“计算机能力”、“公关能力”三项的权重为5:3:2,则本次招聘中应试者乙将被录用(填“甲”或“乙”)

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14.如图,点A在函数y=$\frac{4}{x}$(x>0)图象上,过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y=$\frac{1}{x}$图象于点B、C,直线BC与坐标轴的交点为D、E.当点A在函数y=$\frac{4}{x}$(x>0)图象上运动时,
(1)设点A横坐标为a,则点B的坐标为($\frac{1}{4}$a,$\frac{4}{a}$),点C的坐标为C(a,$\frac{1}{a}$)(用含a的字母表示);
(2)△ABC的面积是否发生变化?若不变,求出△ABC的面积,若变化,请说明理由;
(3)请直接写出BD与CE满足的数量关系.

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1.解下列方程组或不等式(组)
(1)$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-3}\\{4x-3y=1}\end{array}\right.$
(2)x-$\frac{x+2}{2}$≤$\frac{2x-5}{3}$
(3)$\left\{\begin{array}{l}{2x+5≤3(x+2)}\\{\frac{x-1}{2}<\frac{x}{3}}\end{array}\right.$,并写出其整数解.

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11.如图,在△ABC中,AB=AC,作AB的垂直平分线DE分别交AB,AC于点D,E,连接BE,则:
(1)若AC=12,BC=10,则△EBC的周长为22.
(2)若AC=12,△EBC的周长为26,则BC=14.

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18.解下列不等式(组),并把解集在数轴上表示出来:
(1)$\left\{\begin{array}{l}{2x+6>0}\\{1-2x≥0}\end{array}\right.$                    
(2)1-$\frac{x+6}{2}$<$\frac{2x+1}{3}$.

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15.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=30cm.点P从点A出发,以1cm/s的速度向点D移动,点Q从点C出发,以3cm/s的速度向点B运动,点P和点Q分别从点A和点C同时出发,移动时间为ts.规定若其中一个动点先到达端点(终点)时,另一个动点也随之停止运动.
(1)求时间t的取值范围;
(2)当四边形ABQP为矩形时,求时间t的值;
(3)是否存在时间t的值,使得△APQ的面积是△ABC的面积的一半?若存在,请求出t的值,若不存在,说明理由.

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16.如图,已知在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,点A,B分别在x轴上(点A在原点左侧,点B在原点右侧),OB=4OA,经过点A,B的抛物线交y轴于点C(0,2),且∠ACB=90°.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点N为该抛物线第一象限上一点,满足∠NOC=∠CBO,联结BN,NO,求△BON的面积;
(3)点D为抛物线对称轴上一点,且在x轴下方,点E在y轴负半轴上,当以B,E,D为顶点的三角形与△ABC相似时(∠DBE与∠ABC为对应角),求点D的坐标.

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