Question

如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），△AOB绕O点按逆时针方向旋转90°得到△COD．
（1）求C、D两点的坐标；
（2）求经过C、D、B三点的抛物线的解析式；
（3）设（2）中的抛物线的顶点为P，AB的中点为M，试判断△PMB是钝角三角形、直角三角形还是锐角三角形，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据旋转的性质可知OB=OD、OA=OC；因此D点的纵坐标就是B点的横坐标．C点的横坐标就是A点纵坐标的绝对值．由此可得出C、D两点的坐标．
（2）可根据C、D、B三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）本题的关键是要看M点在抛物线对称轴的左侧还是右侧．根据抛物线的解析式可得出抛物线的顶点为（1，），根据A，B两点的坐标以及M是AB中点不难求出M的坐标是（2，1）．由此可得出M在P点的右侧，过P作出抛物线的对称轴，很明显对称轴与AB相交得出的钝角要小于∠PMB，因此△PMB是钝角三角形．
解答：解：（1）由旋转的性质可知：OC=OA=2，OD=OB=4
∴C、D两点的坐标分别为C（-2，0）、D（0，4）

（2）设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，根据题意得
解得
∴所求抛物线的解析式为y=-x²+x+4．

（3）答：△PMB是钝角三角形．
如图，PH是抛物线y=-x²+x+4的对称轴，
求得M、P两点的坐标分别为M（2，1），P（1，）．
∴点M在PH右侧，
又∵∠PHB=90°
∴∠PMB＞90°
∴△PMB是钝角三角形．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、三角形的外角的特征等知识点．