Question

【题目】如图，A，B，C，D四点都在OO上，弧AC＝弧BC，连接AB，CD、AD，∠ADC＝45°．

（1）如图1，AB是⊙O的直径；

（2）如图2，过点B作BE⊥CD于点E，点F在弧AC上，连接BF交CD于点G，∠FGC＝2∠BAD，求证：BA平分∠FBE；

（3）如图3，在（2）的条件下，MN与⊙O相切于点M，交EB的延长线于点N，连接AM，若2∠MAD+∠FBA＝135°，MN＝AB，EN＝26，求线段CD的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）34

【解析】

(1)根据直径所对圆周角是直角即可解题;

(2)作辅助线,通过半径相等得到等腰三角形,由已知的∠FGC＝2∠BAD得到B、G、O、D四点共圆，推出∠ODE＝∠OBG即可解题;

(3)作辅助线,通过直径所对圆周角是直角得到∠ACB＝90°,根据2∠MAD+∠FBA＝135°，得到AM＝DM，接着证明△ADR是等腰直角三角形，△ACR≌△CBE（AAS），四边形OEQM是矩形，再△EQN是等腰直角三角形，△OER是等腰直角三角形，最后通过勾股定理即可解题.

解（1）如图1，连接BD．

∵，

∴∠BDC＝∠ADC＝45°，

∴∠ADB＝90°，

∴AB是圆O的直径．

（2）如图2，连接OG、OD、BD．

则OA＝OD＝OB，

∴∠OAD＝∠ODA，∠OBD＝∠ODB，

∴∠DOB＝∠OAD+∠ODA＝2∠BAD，

∵∠FGC＝2∠BAD，

∴∠DOB＝∠FGC＝∠BGD，

∴B、G、O、D四点共圆，

∴∠ODE＝∠OBG，

∵BE⊥CD，∠BDC＝45°，

∴∠EBD＝45°＝∠EDB，

∴∠OBE＝∠ODE＝∠OBG，

∴BA平分∠FBE．

（3）如图3，连接AC、BC、CO、DO、EO、BD．

∵AC＝BC，

∴AC＝BC，

∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，CO⊥AB，

延长CO交圆O于点K，则∠DOK＝∠OCD+∠ODC＝2∠ODC＝2∠OBE＝2∠FBA，

连接DM、OM，则∠MOD＝2∠MAD，

∵2∠MAD+∠FBA＝135°，

∴∠MOD+∠FBA＝135°，

∴2∠MOD+2∠FBA＝270°，

∴2∠MOD+∠DOK＝270°，

∵∠AOM+∠DOM+∠KOK＝270°，

∴∠AOM＝∠DOM，

∴AM＝DM，

连接MO并延长交AD于H，则∠MHA＝∠MHD＝90°，AH＝DH，

设MH与BC交于点R，连接AR，则AR＝DR，

∵∠ADC＝45°，

∴∠ARD＝∠ARC＝90°，△ADR是等腰直角三角形，

∴∠BRH＝∠ARH＝45°

∵∠ACR+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，

∴∠ACR＝∠CBE，

∴△ACR≌△CBE（AAS），

∴CR＝BE＝ED，

作EQ⊥MN于Q，则∠EQN＝∠EQM＝90°，

连接OE，则OE垂直平分BD，

∴OE∥AD∥MN，

∴四边形OEQM是矩形，

∴OM＝EQ，OE＝MQ，

延长DB交MN于点P，

∵∠PBN＝∠EBD＝45°，

∴∠BNP＝45°，

∴△EQN是等腰直角三角形，

∴EQ＝QN＝EN＝13，

∴OA＝OB＝OC＝OD＝OM═13，AB＝2OA＝26，

∴BC＝OC＝26，

∵MN＝AB＝20，

∴OE＝MQ＝MN﹣QN＝20﹣13＝7，

∵∠ORE＝45°，∠EOR＝90°，

∴△OER是等腰直角三角形，

∴RE＝OE＝14，

设BE＝CR＝x，则CE＝14+x，

在Rt△CBE中：BC2＝CE2+BE2，

∴262＝（x+14）2+x2，解得x＝10，

∴CD＝CR+RE+DE＝10+14+10＝34．