Question

如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC=1km，B村到公路l的距离BD=2km，B村在A村的南偏东45°方向上．

（1）求出A，B两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（不写作法，保留清晰的作图痕迹）．

Answer 1

过点作直线的平行线交的延长线于---1分
易证四边形是矩形----2分----3分
在中，由，可得---4分
（km）两村的距离为km-----6分．
（2）作图正确，痕迹清晰---9分

（1）易得∠CAB=45°那么可根据45°的三角函数来求得AB的两段长，相加即可；
（2）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．到点A，B的距离相等，应在线段AB的垂直平分线上．
解：（1）设AB与CD的交点为O，根据题意可得∠A=∠B=45度，
∴△ACO和△BDO都是等腰直角三角形．（1分）

∴AO=，BO=2．
∴A，B两村的距离为AB=AO+BO=+2=3（km）．（4分）
（2）作图正确，痕迹清晰．（5分）
作法：①分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于两点M，N，作直线MN；
②直线MN交l于点P，点P即为所求．（7分）