Question

如图，⊙O的半径为1，圆心在坐标原点，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，b）（b＞0）．
（1）当b为何值时，直线AB与⊙O相离？相切？相交？
（2）当AB与⊙O相切时，求直线AB的解析式？

Answer 1

分析：（1）首先求得相切时的b值，即设AB与⊙O相切于C，连接OC，则OC⊥AB．利用锐角三角函数求得b值，再进一步分情况讨论；
（2）根据（1）中求得相切时点B的坐标，运用待定系数法求解．

解答：解：（1）设AB与⊙O相切于C，连接OC，则OC⊥AB．
在Rt△AOC中，∵OC=1，OA=2，
∴sin∠OAC=

1

2

，
∴∠OAC=30°．
∴OB=OA•tan30°=2•

3

3

=

2 3

3

．
∴当b＞

2 3

3

时，直线AB与⊙O相离；
当b=

2 3

3

时，直线AB与⊙O相切；
当0＜b＜

2 3

3

时，直线AB与⊙O相交．

（2）当直线AB与⊙O相切时，点B的坐标为（0，

2 3

3

），
设直线AB的解析式为y=kx+

2 3

3

，
将（-2，0）代入，得0=-2k+

2 3

3

?k=

3

3

．
∴直线AB的解析式为y=

3

3

x+

2 3

3

．

点评：此题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系、锐角三角函数以及待定系数法求函数解析式的方法．