Question

已知x₁，x₂是关于x的方程（x-2）（x-m）=（p-2）（p-m）的两个实数根．
（1）求x₁，x₂的值；
（2）若x₁，x₂是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．

Answer 1

分析：（1）化简方程，用分解因式法求出两根；
（2）直角三角形的面积为

1

2

x₁x₂，利用根与系数的关系可以得到关于p的关系式，然后利用二次函数可以求出什么时候有最大值．

解答：解：（1）原方程变为：x²-（m+2）x+2m=p²-（m+2）p+2m，
∴x²-p²-（m+2）x+（m+2）p=0，
（x-p）（x+p）-（m+2）（x-p）=0，
即（x-p）（x+p-m-2）=0，
∴x₁=p，x₂=m+2-p；

（2）根据（1）得到
直角三角形的面积为

1

2

x₁x₂=

1

2

p（m+2-p）
=-

1

2

p²+

1

2

（m+2）p
=-

1

2

（p-

m+2

2

）²+

(m+2)2

8

，
∴当p=

m+2

2

（m＞-2）时，以x₁，x₂为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为

(m+2)2

8

或

1

2

p²．

点评：本题是综合性较强的题，利用了分解因式法求方程的根，利用了二次函数求最值．