Question

【题目】如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD ，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上，若AB=6，∠A=120°，且DE=2，则FH=_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据菱形的性质得到AD∥BC，得到∠GBF=∠EDH，可证明△BGF≌△DEH（AAS），得到BG=DE；连接GE，过点G作GQ//AB，交AD于点P，过点E作EQ⊥GQ，垂足为Q，证明四边形ABGP为平行四边形，得到AP=BG=2，∠GPE=120°，求得PE=2，∠EPQ=60°，进而求得PQ=1，QE=，运用勾股定理求得GE的长，从而可得FH的长．

∵四边形EFGH是矩形，

∴EH=FG，EH∥FG，

∴∠GFH=∠EHF，

∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF，

∴∠BFG=∠DHE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠GBF=∠EDH，

∴△BGF≌△DEH（AAS），

∴BG=DE；

∵DE=2，

∴BG=2；

过点G作GQ//AB，交AD于点P，过点E作EQ⊥GQ，垂足为Q，如图，

则四边形ABGP是平行四边形，

∴AP=BG=2，GP=AB=6，∠GPE=∠A=120°，

∴∠EPQ=60°，PE=AD-AP-DE=6-2-2=2

在Rt△PQE中 , ∠EPQ=60°，PE=2

∴∠QEP=30°，

∴QP=1

∴

在Rt△GQE中，∠GQE=90°，GQ=GP+PQ=6+1=7，

∴

∵四边形EFGH是矩形，

∴FH=GE=．

故答案为：．