已知等腰和等腰中.∠ACB=∠AED=90°.且AD=AC (1)发现:如图1.当点E在AB上且点C和点D重合时.若点M.N分别是DB.EC的中点.则MN与EC的位置关系是 .MN与EC的数量关系是小题中的△AED绕点A旋转一定角度.如图2所示.连接BD和EC,并连接DB.EC的中点M.N,则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗?若成立.请以逆时针旋转45°得到的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知等腰和等腰中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC

（1）发现：如图1，当点E在AB上且点C和点D重合时，若点M、N分别是DB、EC的中点，则MN与EC的位置关系是，MN与EC的数量关系是

（2）探究：若把（1）小题中的△AED绕点A旋转一定角度，如图2所示，连接BD和EC,并连接DB、EC的中点M、N,则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，请以逆时针旋转45°得到的图形（图3）为例给予证明位置关系成立，以顺时针旋转45°得到的图形（图4）为例给予证明数量关系成立，若不成立，请说明理由。

解：解：（1）.（2）连接EM并延长到F，使EM=MF，连接CM、CF、BF.

∵BM=MD,∠EMD=∠BMF，

∴△EDM≌△FBM

∴BF=DE=AE，∠FBM=∠EDM=135°

∴∠FBC=∠EAC=90°

∴△EAC≌△FBC

∴FC=EC, ∠FCB=∠ECA-

∴∠ECF=∠FCB+∠BCE =∠ECA+∠BCE=90°

又点M、N分别是EF、EC的中点

∴MN∥FC

∴MN⊥FC---------8分

（可把Rt△EAC绕点C旋转90°得到Rt△CBF,连接MF,ME,MC,然后证明三点共线）

证法2：延长ED到F，连接AF、MF，则AF为矩形ACFE对角线，所以比经过EC的中点N且AN=NF=EN=NC.-

在Rt△BDF中，M是BD的中点，

∠B=45°

∴FD=FB

∴FM⊥AB，

∴MN=NA=NF=NC-

∴点A、C、F、M都在以N为圆心的圆上

∴∠MNC=2∠DAC由四边形MACF中，∠MFC=135°

∠FMA=∠ACB=90°

∴∠DAC=45°

∴∠MNC=90°即MN⊥FC-

（还有其他证法，相应给分）

（3）连接EF并延长交BC于F

∵∠AED=∠ACB=90°

∴DE∥BC

∴∠DEM=∠AFM，∠EDM=∠MBF

又BM=MD

∴△EDM≌△FBM-

∴BF=DE=AE,EM=FM

∴

（另证：也可连接DN并延长交BC于M）

备注：任意旋转都成立，如下图证明两个红色三角形全等。其中∠EAC=∠CBF的证明，

可延长ED交BC于G，通过角的转换得到

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