Question

如图，已知AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC，若OA=2，且AD+OC=6，则CD=

 

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Answer 1

分析：连接BD，根据AD∥OC，易证得OC⊥BD，根据垂径定理知：OC垂直平分BD，可得CD=CB，因此只需求出CB的长即可；
延长AD，交BC的延长线于E，则OC是△ABC的中位线；设未知数，表示出OC、AD、AE的长，然后在Rt△ABE中，表示出BE的长；最后根据切割线定理即可求出未知数的值，进而可在Rt△CBO中求出CB的长，即CD的长．

解答：解：连接BD，则∠ADB=90°；
∵AD∥OC，
∴OC⊥BD；
根据垂径定理，得OC是BD的垂直平分线，即CD=BC；
延长AD交BC的延长线于E；
∵O是AB的中点，且AD∥OC；
∴OC是△ABE的中位线；
设OC=x，则AD=6-x，AE=2x，DE=3x-6；
Rt△ABE中，根据勾股定理，得：BE²=4x²-16；
由切割线定理，得BE²=ED•AE=2x（3x-6）；
∴4x²-16=2x（3x-6），解得x=2，x=4；
当x=2时，OC=OB=2，由于OC是Rt△OBC的斜边，显然x=2不合题意，舍去；
当x=4时，OC=4，OB=2；
在Rt△OBC中，CB=

OC2-OB2

=2

3

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∴CD=CB=2

3

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点评：本题主要考查了圆周角定理、平行线的性质、切割线定理、中位线定理等知识，综合性强，难度较大．