Question

如图所示，在Rt△OBC中，∠OBC=90°，以O为圆心，OB为半径的⊙O交BO的延长线于A，BD⊥OC于D，交⊙O于E，连接CE并延长交直线AB于P．
（1）求证：CE是⊙O的切线．
（2）若CE=，⊙O的半径为5，求PE的长？

Answer 1

（1）证明：连接EO，
∴△EOB为等腰三角形，
∵BD⊥OC于D，
∴∠DOB=∠DOE，
∴△CEO≌△CBO，
∵∠OBC=90°，
∴OE⊥PC，
∴CE是⊙O的切线．

（2）解：∵OE⊥PC，∠OBC=90°，
∴∠EOP=∠BCP，
∴△PEO∽△PBC，
∵OE=5，BC=EC=，
∴，
设PE=3x，PB=4x，
∴（3x+）²-（4x）²=（）²，
解方程得：x（40-7x）=0，
x₁=0（舍去）
x₂=，
∴PE=．
分析：（1）连接EO，△EOB为等腰三角形，推出∠DOB=∠DOE，结合题意推出△CEO≌△CBO，得OE⊥PC，即可推出结论，
（2）根据（1）的结论可知BC=CE=，结合题意可以推出△PEO∽△PBC，求得，在Rt△ABC中，根据勾股定理即可推出PE的长度．
点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质、切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键在于求证△CEO≌△CBO；△PEO∽△PBC，推出．