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11.a、b是方程3-x=$\frac{8}{x}$+9的实数根(a>b).若在直角坐标系xOy中,x轴上的动点P(x,0)到定点M(a,5),N(b,1)的距离分别是MP和NP,当点P的横坐标的值是-$\frac{11}{3}$时,MP+NP的值最小?

分析 解方程3-x=$\frac{8}{x}$+9求得a、b,得到M(-2,5),N(-4,1),作N关于x轴的对称点N′,连接MN′交x轴于P,此时PM+PN的值最小,根据N的坐标得到N′的坐标,然后根据待定系数法求得直线MN′的解析式,令y=0,则3x+11=0,即可求得点P的横坐标.

解答 解:解方程3-x=$\frac{8}{x}$+9,得x1=-2,x2=-4,
∵a、b是方程3-x=$\frac{8}{x}$+9的实数根(a>b).
∴a=-2,b=-4,
∴M(-2,5),N(-4,1),如图,

作N关于x轴的对称点N′,连接MN′交x轴于P,此时PM+PN的值最小,
∵N(-4,1),
∴N′(-4,-1),
设直线MN′的解析式为y=kx+b,
$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=5}\\{-4k+b=-1}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=11}\end{array}\right.$,
∴直线MN′的解析式为y=3x+11,
令y=0,则3x+11=0,
解得x=-$\frac{11}{3}$.
故答案为-$\frac{11}{3}$.

点评 本题考查了分式方程的解,轴对称的性质,待定系数法求一次函数的解析式,确定P的位置是解题的关键.

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