Question

【题目】如图，在中，，cm, cm,在中，，cm，cm．EF在BC上，保持不动，并将以1cm/s的速度向点C运动，移动开始前点F与点B重合，当点E与点C重合时，停止移动．边DE与AB相交于点G，连接FG，设移动时间为t（s）．

（1）从移动开始到停止，所用时间为________s；

（2）当DE平分AB时，求t的值；

（3）当为等腰三角形时，求t的值.

Answer 1

【答案】（1）6；（2）；（3）t=，4，6

【解析】

（1）直接用行程问题的数量关系计算可得；

（2）连接AE，证明DE是AB的垂直平分线，然后Rt中，由勾股定理得：

即，解方程即可得出t的值；

（3）分三种情况讨论等腰三角形的情况，利用平行线分线段成比例定理和勾股定理可得列出方程，求出HG的值并进一步得到BF的值，从而得出t的值。

解：（1）如图1

∵BC=12cm，EF=6cm,

∴EC=12-6=6cm,

6÷1=6s

∴从移动开始到停止，所用时间为6s；

故答案为：6

（2）如图2,连接AE

∵EF:DF=AC:BC=3:4,

∴∽,

∴∠D=∠B

∴DG⊥AB,

∵DG平分AB,

∴AE=BE=t+6

CE=6-t

在Rt中，由勾股定理得：

即

解得t=s

（3）如图3,连接GF, 过点G作GH⊥BC于点H，

由勾股定理得ED=10

为等腰三角形，分三种情况讨论：

①当EF=EG=6时，

∵，即

解得GH=4.8

由勾股定理得EH=3.6

∵,即

解得BH=6.4

∴BE=6.4+3.6=10

∴BF=10-6=4

∴t=4

②当GF=EF=6时，过点F作FM⊥GE于点M，

设ME=3x，则MF=4x, 由勾股定理得:

解得x=1.2

∴GE=6x=7.2,

设EH=3y,则GH=4y,, 由勾股定理得:

解得：y=1.44

∴EH=4.32,则GH=5.76

解得BH=7.68

则BE=7.68+4.32=12

BF=12-6=6

∴t=6

③当GE=GF时，

EH=FH=3,则GH=4

解得BH=

则BF=BH-FH=

∴t=

综上所述，当t=，4，6时，为等腰三角形。