Question

【题目】几何探究：

（问题发现）

（1）如图1所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形，BD、CE的关系是_______（选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案）

　

（类比探究）

（2）如图2所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的含有角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗?请说明理由；

（拓展延伸）

（3）如图3所示，△ADE和△ABC是有公共顶点且相似比为1 : 2的两个等腰直角三角形，将△ADE绕点A自由旋转，若，当B、D、E三点共线时，直接写出BD的长．

Answer 1

【答案】（1）相等；（2）不成立，理由见解析；（3）或．

【解析】

（1）证明△ABD≌△ACE（SAS），即可得出；

（2）当在Rt△ADE和Rt△ABC中，，证明△ABD∽△ACE，求出BD与CE的比例；

（3）分两种情况求出BD的长即可．

（1）相等;

提示：如图4所示．

∵△ADE和△ABC均为等边三角形，

∴

∴

∴

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴．

（2）不成立；

理由如下：如图5所示．

在Rt△ADE和Rt△ABC中，

∵

∴

∴

∵

∴△ABD∽△ACE

∴

∴

故（1）中的结论不成立；

（3）或．

提示:分为两种情况：

①如图6所示．

易证：△ABD≌△ACE（SAS）

∴

∴

∴

由题意可知：

设,则

在Rt△BCE中,由勾股定理得：

∴

解之得:（舍去）

∴；

②如图7所示．

易证：△ABD≌△ACE（SAS），

设，则

在Rt△BCE中，由勾股定理得：

∴

解之得：（舍去）

∴.

综上所述，或．