Question

2．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使C点与A点重合，则EF（　　）

• A． $\frac{7}{4}$
• B． $\frac{15}{4}$
• C． $\frac{15}{2}$
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 如图，过点E作EH⊥BC于H，根据轴对称的性质就可以求出AG=CD，AF=CF，GE=DE，∠G=∠D=90°，∠GAF=∠C=90°．由矩形的性质和勾股定理就可以求出DE，再由△ABF∽△AGE，就可以求出BF的值，在Rt△FHE中由勾股定理就可以求出EF的值．

解答 解：如图，过点E作EH⊥BC于H，
∴∠EHC=∠EHF=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=∠BAD=90°，AB=CD，AD=BC，
∵AB=3，BC=4，
∴CD=3，AD=4，
∴∠EHC=∠C=∠D=90°，
∴四边形EHCD是矩形，
∴EH=CD，ED=CH，
∵四边形AFEG与四边形CFED关于EF对称，
∴四边形AFEG≌四边形CFED，
∴AG=CD=3，AF=CF，GE=DE，∠G=∠D=90°，∠GAF=∠C=90°，
设ED=x，则GE=x，AE=4-x，
在Rt△AGE中，由勾股定理得：
9+x²=（4-x）²，
解得：x=$\frac{7}{8}$，
∴AE=$\frac{25}{8}$，
∵∠GAE+∠FAE=∠FAE+∠BAF=90°，
∴∠GAE=∠BAF，
∵∠G=∠B=90°，
∴△ABF∽△AGE，
∴$\frac{AB}{AG}$=$\frac{BF}{GE}$，
∴$\frac{3}{3}$=$\frac{BF}{\frac{7}{8}}$，
∴BF=$\frac{7}{8}$，
∴FH=4-$\frac{7}{8}$-$\frac{7}{8}$=$\frac{9}{4}$，
在Rt△FHE中，由勾股定理得：
EF=$\frac{15}{4}$，
故选B．

点评 本题考查了轴对称的性质的运用，勾股定理的运用，矩形的判定及性质的运用，解答时灵活运用勾股定理求解是关键．