Question

【题目】已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在直线AB上，连接CD，并把CD绕点C逆时针旋转90°到CE．

（1）如图1，点D在AB边上，线段BD、BE、CD的数量关系为　 　．

（2）如图2，点D在点B右侧，请猜想线段BD、BE、CD的数量关系，并证明你的结论．

（3）如图3，点D在点A左侧，BC＝，AD＝BE＝1，请直接写出线段EC的长．

Answer 1

【答案】（1）结论：BE2+BD2＝2CD2（2）结论：BE2+BD2＝2CD2（3）

【解析】

（1）如图1中，连接DE，易证△ACD≌△BCE（SAS），得到AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，得到∠A＝∠CBA＝45°，则∠ABE＝90°，有DE2＝BD2+BE2，DE＝CD，得到BE2+BD2＝2CD2．

（2）整体思路如（1）先证△ACD≌△BCE，然后找出DE2＝BD2+BE2，利用DE＝CD，即可得证

（3）如图3中，连接DE．先求出BD，然后利用前两问结论直接代入计算即可

解：（1）结论：BE2+BD2＝2CD2．

理由：如图1中，连接DE．

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵CA＝CB，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，

∴∠A＝∠CBA＝45°，

∴∠CBE＝∠A＝45°，

∴∠ABE＝90°，

∴DE2＝BD2＝BE2，

∵DE＝CD，

∴BE2+BD2＝2CD2．

（2）结论：BE2+BD2＝2CD2．

理由：如图2中，连接DE．

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵CA＝CB，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，

∴∠A＝∠CBA＝45°，

∴∠CBE＝∠A＝45°，

∴∠ABE＝∠EBD＝90°，

∴DE2＝BD2+BE2，

∵DE＝CD，

∴BE2+BD2＝2CD2．

（3）如图3中，连接DE．

∵AC＝BC＝，∠ACB＝90°，

∴AB＝BC＝2，

∴AD＝BE＝1，

∴BD＝3，

由（2）可知：BD2+BE2＝2EC2，

∴9+1＝2EC2，

∴EC＝．