Question

如图所示，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA₁B₁第二次将OA₁B₁变换成△OA₂B₂，第三次将△OA₂B₂变换成△OA₃B₃，已知A（1，3），A₁（2，3），A₂（4，3），A₃（8，3），B（2，0），B₁（4，0），B₂（8，0），B₃（16，0）．

（1）求△OAB的面积；
（2）写出△OA₄B₄的各个顶点的坐标；
（3）按此图形变化规律，你能写出△OA_nB_n的面积与△OAB的面积的大小关系吗？

Answer 1

分析：（1）根据三角形的面积公式：面积=

1

2

×底×高进行计算即可；
（2）对于A₁，A₂…A_n坐标找规律可将其写成竖列，比较从而发现A_n的横坐标为2ⁿ，而纵坐标都是3，同理B₁，B₂，B_n也一样找规律．
（3）根据三角形的底边后一个是前一个三角形的底边的2倍，先求出△OA_nB_n的底边OB_n的长度，高都是3不变，然后利用三角形的面积公式分别计算出两三角形的面积，相除即可得到倍数．

解答：解：（1）S_△OAB=

1

2

OB•y_A
=

1

2

×2×3=3；

（2）根据图示知O的坐标是（0，0）；
已知A（1，3），A₁（2，3），A₂（4，3），A₃（8，3），对于A₁，A₂…A_n坐标找规律比较从而发现A_n的横坐标为2ⁿ，而纵坐标都是3；
同理B₁，B₂…B_n也一样找规律，规律为B_n的横坐标为2ⁿ⁺¹，纵坐标为0．
由上规律可知：A₄的坐标是（16，3），B₄的坐标是（32，0）；
综上所述，O（0，0），A₄（16，3），B₄（32，0）；

（3）根据规律，后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍，高相等都是4，
∴OB_n=2ⁿ⁺¹，
S_△OAnBn=

1

2

×2ⁿ⁺¹×3=3×2ⁿ=2ⁿS_△OAB
即S_△AnBn=2ⁿS_△OAB．

点评：本题是观察坐标规律的问题，需要分别从横坐标，纵坐标两方面观察规律，写出答案．