Question

17．如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为x（s）．
（1）当x为何值时，PQ∥BC？
（2）当$\frac{{S}_{△BCQ}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{3}$时，求$\frac{{S}_{△BPQ}}{{S}_{△ABC}}$的值；
（3）在运动过程中，点A、P、Q组成的三角形与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．
（2）由三角形的面积关系得出CQ：AC=1：3，那么CQ=10cm，此时时间x正好是（1）的结果，那么此时PQ∥BC，由此可根据平行这个特殊条件，得出三角形APQ和ABC的面积比，然后再根据三角形PBQ的面积=三角形ABC的面积-三角形APQ的面积-三角形BQC的面积来得出三角形BPQ和三角形ABC的面积比．
（3）分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况．

解答 解：（1）当PQ∥BC时，AP：AB=AQ：AC，
∵AP=4x，AQ=30-3x，
∴$\frac{4x}{20}$=$\frac{30-2x}{30}$，
解得：x=$\frac{10}{3}$；
即当x=$\frac{10}{3}$，PQ∥BC；
（2）∵S_△BCQ：S_△ABC=1：3
∴CQ：AC=1：3，
∴CQ=10c，
∴时间用了 $\frac{10}{3}$秒，
∴AP=$\frac{40}{3}$cm，
∵由（1）知，此时PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，相似比为 $\frac{2}{3}$，
∴S_△APQ：S_△ABC=4：9，
∴四边形PQCB与三角形ABC面积比为5：9，即S_{四边形PQCB}=$\frac{5}{9}$S_△ABC，
又∵S_△BCQ：S_△ABC=1：3，即S_△BCQ=$\frac{1}{3}$S_△ABC，
∴S_△BPQ=S_{四边形PQCB}-S_△BCQ═$\frac{5}{9}$S_△ABC-$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{2}{9}$S_△ABC，
∴S_△BPQ：S_△ABC=2：9；
（3）能．
①当△APQ∽△CQB时，有 $\frac{AP}{CQ}$=$\frac{AQ}{BC}$ 即：$\frac{4x}{3x}$=$\frac{30-3x}{20}$ 解得：x=$\frac{10}{9}$（秒），
∴AP=4x=$\frac{40}{9}$ （cm）                 
②当△APQ∽△CBQ时，有 $\frac{AP}{CB}$=$\frac{AQ}{CQ}$ 即：$\frac{4x}{20}$=$\frac{30-3x}{3x}$ 解得：x=5（秒）或x=-10（秒）（舍去）
∴PA=4x=20（cm），
综上所述，当AP=$\frac{40}{9}$cm或20cm时，△APQ与△CQB相似．

点评 本题是相似形综合题目，主要考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理；根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键．