Question

15．已知△ABC内接于⊙O，D为BC弦的中点，连接OB、OD．
（1）如图1，求证：∠BOD=∠BAC；
（2）如图2，过点B作BE⊥AC于点F，连接AF，求证AF=2OD；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DE并延长，交AF弦于点G，连接OE并延长，交AF的延长线于点H，若AG=4FG，BC=4EG，OE=5，求线段FH的长．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性质结合圆周角定理得出答案；
（2）过O作OK⊥AF于点K，连接AO，利用已知得出△OBD≌△AOK，进而得出答案；
（3）首先证明四边形OMGK是矩形，进而得出BD=DE=8，MO=3，FG=2，再得出△OEM≌△HEG，进而得出答案．

解答 （1）证明：如图1，连接CO，
∵BO=CO，D是BC的中点，
∴DO平分∠BOC，
∴∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∵∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴∠BOD=∠BAC；

（2）证明：如图2，过O作OK⊥AF于点K，连接AO，则AF=2AK，
∵AO=BO，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠OAB=$\frac{1}{2}$（180°-∠AOB）=90°-$\frac{1}{2}∠AOB$，
∵∠AFB=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∴∠FAC=90°-∠AFB=90°-$\frac{1}{2}∠AOB$，
∴∠OAB=∠FAC，
∴∠OAK=∠FAC+∠OAC=∠OAB+∠OAC=∠BAC=∠BOD，
在△OBD和△AOK中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDO=∠OKA}\\{∠DOB=∠KAO}\\{BO=AO}\end{array}\right.$，
∴△OBD≌△AOK，
∴AK=DO．
∴AF=2OD；

（3）解：如图3，过O作OM⊥DG于点M，由（2）可知MG=KO=BD=$\frac{1}{2}$BC，
∵BC=4EG，
∴MG=2EG，
∴EM=EG，
∵∠BEC=90°，BD=CD，
∴ED=BD=CD，
∴∠GEF=∠BED=∠DBE=∠CAF，
∵∠CAF+∠F=90°，
∴∠GEF+∠F=90°，
∴∠EGK=∠EGF=90°，
∴四边形OMGK是矩形，
∵AK=KF，AG=2FG，
设FG=2x，则AG=8x，AK=KF=5x，KG=3x，
∴MO=3x，
∵AF=2DO，
∴DO=5x，
∴DM=4x，
∵tan∠EAG=tan∠GEF，
∴$\frac{GF}{EG}$=$\frac{EG}{AG}$，
∴EG=4x，
在Rt△OME中，（4x）²+（3x）²=5²，
解得：x=-1（舍去）或x=1，
∴BD=DE=8，MO=3，FG=2，
在△OEM和△HEG中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠OME=∠EGH}\\{ME=GE}\\{∠MEO=∠GEH}\end{array}\right.$，
∴△OEM≌△HEG，
∴GH=MO=3，
∴HF=HG-FG=3-2=1．

点评 此题主要考查了圆的综合以及全等三角形的判定与性质和矩形的判定等知识，熟练应用全等三角形的判定与性质是解题关键．