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在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E.
⑴求证△ABD为等腰三角形.
⑵求证AC•AF=DF•FE
⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA,而∠MCD=∠DCA,所以∠DBA=∠DAB,故△ABD为等腰三角形.
⑵∵∠DBA=∠DAB
∴弧AD=弧BD
又∵BC=AF
∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA
∴弧CD=弧DF
∴CD=DF
再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知
∠AFE=∠DBA=∠DCA①,∠FAE=∠BDE
∴∠CDA=∠CDB+∠BDA=∠FDA+∠BDA=∠BDE=∠FAE②  由①②得△DCA∽△FAE
∴AC:FE=CD:AF
∴AC•AF=" CD" •FE
而CD=DF,
∴AC•AF=DF•FE
解决此题关键要用到与圆相关的性质、定理以及三角形相似的判定,等角对等边。
有一定的几何知识的综合性。考查学生审图,分析图中边角关系的解题技能。
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

(本题9分)如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.
(1)实践与操作利用尺规按下列要求作图,并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹,不写作法).
①作△ABC的外接圆,圆心为O;
②以线段AC为一边,在AC的右侧作等边△ACD;
③连接BD,交⊙O于点F,连接AE,
(2)综合与运用 在你所作的图中,若AB=4,BC=2,则:
①AD与⊙O的位置关系是______.(2分)
②线段AE的长为__________.(2分)

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

(本题满分10分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分)如图5,点CD分别在扇形AOB的半径OAOB的延长线上,且OA=3,AC=2,CD平行于AB,并与弧AB相交于点MN
(1)求线段OD的长;
(2)若,求弦MN的长.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在⊙O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=40°,∠APD=65°。

(1)求∠B的大小:
(2)已知圆心0到BD的距离为3,求AD的长。

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

(本题满分10分)如图,在锐角△ABC中,AC是最短边;以AC中点O为圆心,AC长为半径作OBCE,过OODBC交⊙OD,连结AEADDC
(1)求证:D是 弧AE 的中点;
(2)求证:∠DAO =∠B+∠BAD
(3)若 ,且AC=4,求CF的长.
 

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图7:⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,
若OP的长为整数,则满足条件的点P有         个。

图7                                            

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,AB为圆O的直径,弦CD^AB,垂足为点E,联结OC,若OC=5,AE=2,则CD等于
A.3B.4C.6D.8

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

.已知内切,若的半径为3cm,的半径为6cm,那么两圆的圆心距
的长是        .

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

已知两圆的半径分别为3cm和5cm,如果它们的圆心距是10cm,那么这两个圆的位置关系是
A.内切B.相交C.外切D.外离

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