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两个反比例函数y=
k1
x
y=
k2
x
(k1>k2>0)在第一象限内的图象如图所示,动点P在y=
k1
x
精英家教网图象上,PC⊥x轴于点C,交y=
k2
x
的图象于点A,PD⊥y轴于点D,交y=
k2
x
的图象于点B.
(1)求证:四边形PAOB的面积是定值;
(2)当
PA
PC
=
2
3
时,求
DB
BP
的值;
(3)若点P的坐标为(5,2),△OAB、△ABP的面积分别记为S△OAB′S△ABP.设S=S△OAB-S△ABP′
①求k1的值;
②当k2为何值时,S有最大值,最大值为多少?
分析:(1)让矩形OCPD的面积减去周围几个直角三角形的面积,其中面积应整理为和函数上的点的坐标有关的式子;
(2)利用(1)中两个三角形的面积相等,得到相关线段的比值;
(3)把P坐标代入所在的反比例函数即可求得比例系数的值;所求面积为(1)中所求的面积减去2个△ABP的面积,整理为二次函数的一般形式,求出最值.
解答:(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),精英家教网
△AOC与△BOD的面积分别为S1,S2,矩形PCOD的面积为S3
由题意,得y1=
k2
x1
y2=
k2
x2
y3=
k1
x3

S1=
1
2
x1y1=
1
2
k2
S2=
1
2
x2y2=
1
2
k2
,S3=x3y3=k1
∴S四边形PAOB=S3-(S1+S2)=K1-K2
∴四边形PAOB的面积是定值;(2分)

(2)解:由(1)可知S1=S2,则OD•BD=OC•AC
又∵PA=
2
3
PC

AC=
1
3
PC

∵DP=OC,OD=PC
BD=
1
3
DP

DB
BP
=
1
2
;(4分)

(3)解:①由题意知:k1=xPyP=10;(5分)
②A、B两点坐标分别为A(5,
k2
5
)
B(
k2
2
,2)

S△ABP=
1
2
AP•BP=
1
2
(2-
k2
5
)(5-
k2
2
)

S=S四边形PAOB-2S△ABP=10-k2-2×
1
2
(2-
k2
5
)(5-
k2
2
)

S=-
1
10
k22+k2

∴当k2=5时,s有最大值
5
2
.(7分)
点评:求坐标系内图形的面积,通常整理为矩形面积减去若干直角三角形的面积的形式.在做题过程中应注意所列的式子都应与反比例函数上的点的坐标有关.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,两个反比例函数y=
k1
x
y=
k2
x
(其中k1>k2>0)在第一象限内的图象依次是C1和C2,设点P在C1精英家教网,PC⊥x轴于点C,交C2于点A,PD⊥y轴于点D,交C2于点B,下列说法正确的是(  )
①△ODB与△OCA的面积相等;
②四边形PAOB的面积等于k2-k1;③PA与PB始终相等;
④当点A是PC的中点时,点B一定是PD的中点.
A、①②B、①②④
C、①④D、①③④

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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,两个反比例函数y=
8
x
y=
4
x
在第一象限内的图象依次是C1和C2,设点P在C1上,PC⊥x轴于点C,交C2于点A,PD⊥y轴于点D,交C2于点B,则四边形PAOB的面积为
 

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,两个反比例函数y=
k1
x
y=
k2
x
(其中k1>k2>0)在第一象限内的图象依次是C1精英家教网
C2,设点P在C1上,PC⊥x轴于点C,交C2于点A,PD⊥y轴于点D,交C2于点B,下列说法正确的是(  )  
①△ODB与△OCA的面积相等;②四边形PAOB的面积等于k1-k2
③PA与PB始终相等;        ④当点A是PC的三等分点时,点B一定是PD三等分点.
A、①②B、①②④
C、①④D、①③④

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知反比例函数y=
k1
x
(k1>0)和y=
k2
x
(k2<0),点A在y轴的正半轴上,过点A作直线BC∥x轴,且分别与两个反比例函数的图象交于点B和C,连接OC、OB.若△BOC的面积为
5
2
,AC:AB=2:3,则k1•k2=
-6
-6

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科目:初中数学 来源: 题型:

已知两个反比例函数y=
8
x
y=
4
x
在第一象限内的图象如图所示,点P在y=
8
x
上,PC⊥x轴于点C,交y=
4
x
的图象于点A,PD⊥y轴于点D,交y=
4
x
的图象于点B,则阴影部分的面积为
4
4

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