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(2012•山西)综合与实践:如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.
(1)求直线AC的解析式及B、D两点的坐标;
(2)点P是x轴上一个动点,过P作直线l∥AC交抛物线于点Q,试探究:随着P点的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,求出M点的坐标.
分析:(1)根据抛物线的解析式可得出A、B、C、D的坐标,设AC解析式为y=k1x+b1(k1≠0),利用待定系数法求解即可.
(2)先根据题意结合图形,画出点P和点Q的位置,然后利用平行线的性质,及抛物线上点的坐标特点可求出三个Q的坐标.
(3)因为BD的长固定,要使△BDM的周长最小,只需满足BM+DM的值最小即可,作点B关于AC的对称点B',连接B'D,则与AC交点即是点M的位置,然后利用相似三角形的性质求出B'的坐标,得出B'D的解析式,继而联立AC与B'D的解析式可得出点M的坐标.
解答:解:(1)当y=0时,-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3.
∵点A在点B的左侧,
∴A、B的坐标分别为(-1,0),(3,0).
当x=0时,y=3.
∴C点的坐标为(0,3)
设直线AC的解析式为y=k1x+b1(k1≠0),
b1=3
-k1+b1=0

解得
k1=3
b1=3

∴直线AC的解析式为y=3x+3.
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴顶点D的坐标为(1,4). 

(2)抛物线上有三个这样的点Q,

①当点Q在Q1位置时,Q1的纵坐标为3,代入抛物线可得点Q1的坐标为(2,3);
②当点Q在点Q2位置时,点Q2的纵坐标为-3,代入抛物线可得点Q2坐标为(1+
7
,-3);
③当点Q在Q3位置时,点Q3的纵坐标为-3,代入抛物线解析式可得,点Q3的坐标为(1-
7
,-3);
综上可得满足题意的点Q有三个,分别为:Q1(2,3),Q2(1+
7
,-3),Q3(1-
7
,-3). 

(3)过点B作BB′⊥AC于点F,使B′F=BF,则B′为点B关于直线AC 的对称点.连接B′D交直线AC于点M,则点M为所求,
过点B′作B′E⊥x轴于点E.
∵∠1和∠2都是∠3的余角,
∴∠1=∠2.
∴Rt△AOC∽Rt△AFB,
CO
BF
=
CA
AB

由A(-1,0),B(3,0),C(0,3)得OA=1,OB=3,OC=3,
∴AC=
10
,AB=4.
3
BF
=
10
4

∴BF=
12
10

∴BB′=2BF=
24
10

由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB,
AO
B′E
=
CO
BE
=
CA
BB′

1
B′E
=
3
BE
=
10
24
10
,即
1
B′E
=
3
BE
=
5
12

∴B′E=
12
5
,BE=
36
5

∴OE=BE-OB=
36
5
-3=
21
5

∴B′点的坐标为(-
21
5
12
5
).
设直线B′D的解析式为y=k2x+b2(k2≠0).
k2+b2=4
-
21
5
k2+b2=
12
5

解得
k2=
4
13
b2=
48
13

∴直线B'D的解析式为:y=
4
13
x+
48
13

联立B'D与AC的直线解析式可得:
y=3x+3
y=
4
13
x+
48
13

解得
x=
9
35
y=
132
35

∴M点的坐标为(
9
35
132
35
).
点评:此题考查了二次函数的综合应用,涉及了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质,解答本题需要我们熟练各个知识点的内容,认真探究题目,谨慎作答.
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(2,2
3
(2,2
3

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