Question

（2012•山西）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；
（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的解析式可得出A、B、C、D的坐标，设AC解析式为y=k₁x+b₁（k₁≠0），利用待定系数法求解即可．
（2）先根据题意结合图形，画出点P和点Q的位置，然后利用平行线的性质，及抛物线上点的坐标特点可求出三个Q的坐标．
（3）因为BD的长固定，要使△BDM的周长最小，只需满足BM+DM的值最小即可，作点B关于AC的对称点B'，连接B'D，则与AC交点即是点M的位置，然后利用相似三角形的性质求出B'的坐标，得出B'D的解析式，继而联立AC与B'D的解析式可得出点M的坐标．

解答：解：（1）当y=0时，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3．
∵点A在点B的左侧，
∴A、B的坐标分别为（-1，0），（3，0）．
当x=0时，y=3．
∴C点的坐标为（0，3）
设直线AC的解析式为y=k₁x+b₁（k₁≠0），
则

b1=3 -k1+b1=0

，
解得

k1=3 b1=3

，
∴直线AC的解析式为y=3x+3．
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）． 

（2）抛物线上有三个这样的点Q，

①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；
②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为-3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+

7

，-3）；
③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为-3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1-

7

，-3）；
综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q₁（2，3），Q₂（1+

7

，-3），Q₃（1-

7

，-3）． 

（3）过点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC 的对称点．连接B′D交直线AC于点M，则点M为所求，
过点B′作B′E⊥x轴于点E．
∵∠1和∠2都是∠3的余角，
∴∠1=∠2．
∴Rt△AOC∽Rt△AFB，
∴

CO

BF

=

CA

AB

，
由A（-1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，
∴AC=

10

，AB=4．
∴

3

BF

=

10

4

，
∴BF=

12

10

，
∴BB′=2BF=

24

10

，
由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，
∴

AO

B′E

=

CO

BE

=

CA

BB′

，
∴

1

B′E

=

3

BE

=

10

24 10

，即

1

B′E

=

3

BE

=

5

12

．
∴B′E=

12

5

，BE=

36

5

，
∴OE=BE-OB=

36

5

-3=

21

5

．
∴B′点的坐标为（-

21

5

，

12

5

）．
设直线B′D的解析式为y=k₂x+b₂（k₂≠0）．
∴

k2+b2=4 - 21 5 k2+b2= 12 5

，
解得

k2= 4 13 b2= 48 13

，
∴直线B'D的解析式为：y=

4

13

x+

48

13

，
联立B'D与AC的直线解析式可得：

y=3x+3 y= 4 13 x+ 48 13

，
解得

x= 9 35 y= 132 35

，
∴M点的坐标为（

9

35

，

132

35

）．

点评：此题考查了二次函数的综合应用，涉及了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题需要我们熟练各个知识点的内容，认真探究题目，谨慎作答．