Question

20．如图，⊙O的两条弦CD，BE相交于点F，AB是直径，CD⊥AB，垂足为点P，连接BC．求证：
（1）PC²=PA•PB；
（2）BC²=BF•BE．

Answer 1

分析 （1）如图1所示，连接AC，由垂径定理可知：$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，从而可证明∠CAP=∠BCP，于是得到△PBC∽△PCA，然后由相似三角形的性质可证明PC²=PA•PB；
（2）如图2所示，连接EC．先证明∠CEB=∠BCD，于是得到△BCF∽△BEC，由相似三角形的性质可证明BC²=BF•BE．

解答 解：（1）如图1所示：连接AC．

∵AB是圆O的直径，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠CPA=90°，$\widehat{BC}=\widehat{BD}$．
∴∠CAP=∠BCP．
∴△PBC∽△PCA．
∴$\frac{PC}{AP}=\frac{PB}{PC}$．
∴PC²=PA•PB．
（2）如图2所示，连接EC．

∵$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，
∴∠CEB=∠BCD．
又∵∠CBE=∠FBC，
∴△BCF∽△BEC．
∴$\frac{BC}{BE}=\frac{BF}{BC}$．
∴BC²=BF•BE．

点评 本题主要考查的是垂径定理、圆周角定理和相似三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．