Question

如图，已知⊙O₁与⊙O₂是等圆，直线CF顺次交两圆于C、D、E、F，且CF交O₁O₂于点M．需要添加上一个条件，（只填写一个条件，不添加辅助线或另添字母），则M是线段O₁O₂的中点，并说明理由．（说明理由时可添加辅助线或字母）

Answer 1

解：添加（或CD=EF）．
理由：过O₁作O₁A⊥CD于A，过O₂作O₂B⊥EF于B，则O₁A∥O₂B，
∵⊙O₁、⊙O₂是等圆，（或CD=EF），
∴O₁A=O₂B，
∵O₁A∥O₂B，
∴△O₁AM∽△O₂BM
∴，
∴O₁M=O₂M，即M为O₁O₂的中点．
分析：过点O₁作O₁A⊥CD于A，过点O₂作O₂B⊥EF，连接O₁C和O₂F，构造全等三角形：△O₁AM≌△O₂BM．如果CD=EF（或弧CD=弧EF），则可得到，O₁A=O₂B，再利用AAS可求出：△O₁AM≌△O₂BM，所以O₁M=O₂M，即M是O₁O₂的中点．
点评：此题运用了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等．还用到了三角形的全等判定（AAS）及其性质．