Question

如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．求证：
（1）AE=CG；
（2）AE⊥CG．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：（1）可以把结论涉及的线段放到△ADE和△CDG中，考虑证明全等的条件，又有两个正方形，所以AD=CD，DE=DG，它们的夹角都是∠ADG加上直角，故夹角相等，可以证明全等；
（2）再利用互余关系可以证明AE⊥CG．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，
∴AD=CD，GD=ED，
∵∠CDG=90°+∠ADG，∠ADE=90°+∠ADG
∴∠CDG=∠ADE=90°，
在△ADE和△CDG中，

AD=CD ∠ADE=∠CDG DE=GD

，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
AE=CG；

（2）设AE与DG相交于M，AE与CG相交于N，在△GMN和△DME中，
由（1）得∠CGD=∠AED，
又∵∠GMN=∠DME，
∴∠GNM=∠MDE=90°，
∴AE⊥CG．

点评：本题可围绕结论寻找全等三角形，根据正方形的性质找全等的条件，运用全等三角形的性质判定线段相等，垂直关系．