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15.已知平面直角坐标系中A、B两点坐标如图,若PQ是一条在x轴上活动的线段,且PQ=1,求当BP+PQ+QA最小时,点Q的坐标($\frac{19}{7}$,0).

分析 如图把点B向右平移1个单位得到E(1,3),作点E关于x轴的对称点F(1,-3),连接AF,AF与x轴的交点即为点Q,此时BP+PQ+QA的值最小.求出直线AF的解析式,即可解决问题.

解答 解:如图把点B向右平移1个单位得到E(1,3),作点E关于x轴的对称点F(1,-3),连接AF,AF与x轴的交点即为点Q,此时BP+PQ+QA的值最小.

设最小AF的解析式为y=kx+b,则有$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-3}\\{5k+b=4}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{7}{4}}\\{b=-\frac{19}{4}}\end{array}\right.$,
∴直线AF的解析式为y=$\frac{7}{4}$x-$\frac{19}{4}$,
令y=0,得到x=$\frac{19}{7}$,
∴Q($\frac{19}{7}$,0),
故答案为($\frac{19}{7}$,0).

点评 本题考查轴对称最短问题、坐标与图形的性质、一次函数的应用等知识,解题的关键是学会利用对称解决最短问题,学会构建一次函数解决交点问题,属于中考常考题型.

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