【题目】如图,过抛物线y=ax2+bx上一点A(4,﹣2)作x轴的平行线,交抛物线于另一点B,点C在直线AB上,抛物线交x轴正半轴于点D(2,0),点B与点E关于直线CD对称.
(1)求抛物线的表达式;
(2)①若点E落在抛物线的对称轴上,且在x轴下方时,求点C的坐标.②AE最小值为 .
【答案】(1)y=﹣x2+x;(2)①C的坐标为(,﹣2),②AE的最小值为2﹣2,见解析.
【解析】
(1)将点A(4,-2)、D(2,0)代入求出a、b的值即可得;
(2)①连接BD、DE,作EP⊥AB,并延长交OD于Q,先求出B(-2,-2)、BD=2,设C(m,-2),知BC=CE=m+2,DE=BD=2,由QD=1,PQ=2知PE=QE-PQ=,由PC=1-m及PC2+PE2=CE2可得m的值,从而得出答案;
②由DB=DE=2,知点E在以D为圆心、2长为半径的⊙D上,连接DA,并延长交⊙D于点E′,此时AE′取得最小值,根据AE的最小值为DE-DA可得答案.
解:(1)将点A(4,﹣2)、D(2,0)代入,
得:,
解得:,
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+x;
(2)①如图1,连接BD、DE,作EP⊥AB,并延长交OD于Q,
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,
∴点A(4,﹣2)关于对称轴对称的点B坐标为(﹣2,﹣2),
∴BD==2,
设C(m,﹣2),
则BC=CE=m+2,DE=BD=2,
∵QD=1,PQ=2,
∴PE=QE﹣PQ=﹣1=﹣1,
∵PC=1﹣m,
∴由PC2+PE2=CE2可得(1﹣m)2+(﹣1)2=(m+2)2,
解得m=,
∴点C的坐标为(,﹣2);
②如图2,
∵DB=DE=2,
∴点E在以D为圆心、2长为半径的⊙D上,
连接DA,并延长交⊙D于点E′,此时AE′取得最小值,
∵DA==2,
则AE的最小值为DE﹣DA=2﹣2,
故答案为:2﹣2.
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【题目】合肥地铁一号线与地铁二号线在A站交汇,且两条地铁线互相垂直如图所示,学校P到地铁一号线B站的距离PB=2km,到地铁二号线C站的距离PC为4km,PB与一号线的夹角为30°,PC与二号线的夹角为60°.求学校P到A站的距离(结果保留根号)
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【题目】林城市对教师试卷讲评课中学生参与的深度和广度进行评价,其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项.评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况,绘制了如图两幅不完整的统计图,请根据图中所给信息解答下列问题:
(1)在这次评价中,一共抽查了 名学生;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)如果全市有16万名初中学生,那么在试卷讲评课中,“独立思考”的学生约有多少万人?
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【题目】为了测量山坡上的电线杆PQ的高度,某数学活动小组的同学们带上自制的测倾器和皮尺来到山脚下,他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°,信号塔底端点Q的仰角为30°,沿水平地面向前走100米到B处,测得信号塔顶端P的仰角是60°,求信号塔PQ得高度。
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【题目】(2011山东济南,27,9分)如图,矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线经过A、C两点,与AB边交于点D.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.
①求S关于m的函数表达式,并求出m为何值时,S取得最大值;
②当S最大时,在抛物线的对称轴l上若存在点F,使△FDQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的F的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】爱好数学的甲、乙两个同学做了一个数字游戏:拿出三张正面写有数字﹣1,0,1且背面完全相同的卡片,将这三张卡片背面朝上洗匀后,甲先随机抽取一张,将所得数字作为p的值,然后将卡片放回并洗匀,乙再从这三张卡片中随机抽取一张,将所得数字作为q值,两次结果记为.
(1)请你帮他们用树状图或列表法表示所有可能出现的结果;
(2)求满足关于x的方程没有实数根的概率.
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【题目】如图1,已知AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,过O点作OF⊥AB交⊙O于点D,交AC于点E,交BC的延长线于点F,点G是EF的中点,连接CG
(1)判断CG与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:2OB2=BCBF;
(3)如图2,当∠DCE=2∠F,CE=3,DG=2.5时,求DE的长.
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