Question

如图所示，A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD．

(1)求证：BD平分EF；

(2)若将△DEC的边EC沿AC方向移动变为如图所示时，其余条件不变，上述结论是否成立，请说明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

证明：(1)∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠DEC=∠BFA=90° ∵AE=CF，∴AE＋EF=EF＋CF，即AF=CE， 在Rt△ABF和Rt△CDE中， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．∴BF=DE． 在△BFG和△DEG中， ∴△BFG≌△DEG(AAS)．∴GF=EG，即BD平分EF． (2)若将△DEC的边EC沿AC方向移动，其余条件不变，上述结论仍成立，证明方法同(1)．

提示：

(1)要证明BD平分EF，即证明EG=FG，只需证Rt△DEG和Rt△BFG全等，题目中有∠DGE和∠BGF是对顶角，还缺一条边DE=BF，由已知条件易证△ABF≌△CDE，从而问题得证. (2)中的结论仍然成立，分析思路同上．