Question

如图，直角梯形OABC中，OC∥AB，C(0，3)，B(4，1)，以BC为直径的圆交x轴于E，D两点(D点在E点右方)．

(1)求点E，D的坐标；

(2)求过B，C，D三点的抛物线的函数关系式；

(3)过B，C，D三点的抛物线上是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)，在BC上取中点G，并过G作GH⊥x轴于H，连接GD， 　　∵， 　　∴G∴H(2，0)　　1分 　　∵BC＝，GH＝2－0＝2 　　又DG＝BG＝ 　　∴HD＝ 　　∴D(3，0)，E(1，0)　　2分 　　(2)设过B、C、D三点的抛物线表达式为则， 　　　　3分 　　解得，　　4分 　　∴　　5分 　　(3)设Q，由(2)可得Q．过Q作QN⊥X轴于N分2种情况： 　　①当∠BDQ＝90时，∴∠NDQ＋∠BDA＝90° 　　∵∠DNQ＝∠BAD＝90　∴∠NDQ＋∠NQD＝90°∴∠NQD＝∠BDA 　　∴△NDQ∽△ABD　∴　　6分 　　即　解得， 　　当，当， 　　∴，(与点D重合，舍去)　　7分 　　②当∠DBQ＝90时，则有， 　　∵B(4，1)，D(3，0)，Q， 　　∴BD＝ 　　 　　 　　∴＋2＝ 　　整理得，，解得，　　8分 　　∴当时，＝1，(此时，Q点与B点重合，舍去)当时， 　　∴(与点B重合，舍去)， 　　综上所述符合条件的点有2个，分别是，　　9分