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如图,已知AC、AB、BC是⊙O的弦,CE是⊙O的直径,CD⊥AB于点D.
(1)求证:∠ACD=∠BCE;
(2)延长CD交⊙O于点F,连接AE、BF,AC=12、CE=13,求BF长.

(1)证明:∵CE是⊙O的直径,
∴∠CAE=90°,
∴∠BAC+∠BAE=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠BAC+∠ACD=90°,
∴∠BAE=∠ACD,
∵∠BAE=∠BCE,
∴∠ACD=∠BCE;

(2)解:∵∠ACD=∠BCE,
即∠ACE+∠ECD=∠ECD+∠BCD,
∴∠ACE=∠BCD,
∵∠CAE=∠CDB=90°,
∴△ACE∽△DCB,
∴AC:DC=AE:DB,
∵在Rt△ACE中,AC=12,CE=13,
∴AE==5,
∴CD:BD=AC:AE=12:5,
∵∠CAB=∠F,∠ACD=∠ABF,
∴△ACD∽△FBD,
∴AC:BF=CD:BD=12:5,
∴BF=×12=5.
分析:(1)由CE是⊙O的直径,可得∠CAE=90°,又由CD⊥AB,根据同角的余角相等,可得∠BAE=∠ACD,然后由圆周角定理,可得∠BAE=∠BCE,继而证得:∠ACD=∠BCE;
(2)首先证得△ACE∽△DCB,即可得CD:BD=12:5,然后由△ACD∽△FBD,即可求得BF长.
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理以及勾股定理.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
练习册系列答案
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14、如图,已知AC、AB是⊙O的弦,AB>AC.
(1)在图(a)中,能否在AB上确定一点E,使得AC2=AE•AB,为什么?
(2)在图(b)中,在条件(1)的结沦下延长EC到P,连接PB,如果PB=PE,试判断PB和⊙O的位置关系,并说明理由.

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(1)在图(a)中,能否在AB上确定一点E,使得AC2=AE•AB,为什么?
(2)在图(b)中,在条件(1)的结沦下延长EC到P,连接PB,如果PB=PE,试判断PB和⊙O的位置关系,并说明理由.

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