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7.如图,点O为Rt△ABC斜边AC上一点,以点O为圆心,OC长为半径的⊙O与AB相切于点D,分别交AC,BC于点G,E.
(1)求证:$\widehat{DG}$=$\widehat{DE}$.
(2)若DE∥AC,BE=1,求AG和$\widehat{DG}$的长.

分析 (1)连接OD.首先证明OD∥BC,推出∠ODC=∠DCE,由OD=OC,推出∠ODC=∠OCD,推出∠DCG=∠DCE即可证明;
(2)首先证明四边形ODEC是菱形,推出△OEC是等边三角形即可解决问题;

解答 (1)证明:连接OD.
∵AB是切线,
∴OD⊥AB,
∴∠ADO=∠B=90°,
∴OD∥BC,
∴∠ODC=∠DCE,
∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
∴∠DCG=∠DCE,
∴$\widehat{DG}$=$\widehat{DE}$.

(2)连接OE.
∵DE∥OC,DO∥EC,
∴四边形ODEC是平行四边形,
∵OD=OC,
∴四边形ODEC是菱形,
∴OC=CE=OE,
∴△OEC是等边三角形,
∴∠BCA=60°,∠BDE=∠A=30°,
∵BE=1,
∴DE=OD=OC=EC=2BE=2,
∴BC=3,
∴AC=2BC=6,
∴AG=AC-CG=2,
$\widehat{DG}$的长=$\frac{60π•2}{180}$=$\frac{2}{3}$π.

点评 本题考查切线的性质、平行线的性质、菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.

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