Question

在直角坐标系xoy中，将面积为3的直角三角形AGO沿直线y=x翻折，得到三角形CHO，连接AC，已知反比例函数y=

k

x

(x＞0)的图象过A、C两点，如图①．
（1）k的值是

 

；
（2）在直线y=x图象上任取一点D，作AB⊥AD，AC⊥CB，线段OD交AC于点F，交AB于点E，P为直线OD上一动点，连接PB、PC、CE．
㈠如图②，已知点A的横坐标为1，当四边形AECD为正方形时，求三角形PBC的面积；
㈡如图③，若已知四边形PEBC为菱形，求证四边形PBCD是平行四边形；
㈢若D、P两点均在直线y=x上运动，当∠ADC=60°，且三角形PBC的周长最小时，请直接写出三角形PBC与四边形ABCD的面积之比．

Answer 1

分析：（1）已知△AOG的面积为3，即A点横、纵坐标的乘积为6，由此可得k的值．
（2）①已知了A点横坐标，根据双曲线的解析式可确定A点坐标，根据旋转的性质即可得到点C的坐标；若四边形AECD是正方形，易证得四边形EBCD是平行四边形，即ED、BC间的距离相等，因此△PCB的面积是定值，且是正方形面积的一半，由此得解．
②易知△AGO、△CHO关于直线y=x对称，那么OD垂直平分AC，由于∠AB⊥AD，则必有EC⊥CD，再根据菱形的对角线互相垂直，即可得到所求的结论．
③由于OD垂直平分AC，且D在直线OD上，若∠ADC=60°，那么△ACD是等边三角形，在Rt△EAD中，AF⊥DE，且∠ADE=30°，易证得DF=3EF，即△DAC是△AEC面积的3倍；由于A、C关于直线y=x对称，因此当P、E重合时，△PBC的周长最小，此时E是斜边AB的中点，即AE=BE，由此可证得△BPC、△AEC的面积相等，即：△ACD也是△PBC面积的3倍，由此可求得四边形ABCD和△PBC的面积比．

解答：（1）解：设A（a，b），（a＞0，b＞0）；
则AG=a，OG=b，由△AGO的面积是3，即ab=6；
∴k=ab=6．（1分）

（2）解：（一）∵双曲线的解析式为：y=

6

x

(x ＞ 0)，A为双曲线上的点，且横坐标为1，
可求得A点纵坐标为6；
又∵四边形AECD为正方形，点E在直线y=x上，
∴E（1，1），
∴AECD为正方形边长为5，对角线AC长为5

2

，AC⊥ED，AE∥CD；
又∵AB⊥AD，
∴ED∥BC，EB∥CD，
∴四边形EBCD为平行四边形，
∴ED=BC，
∵FC⊥BC，
∴S△PBC=

1

2

FC • BC=

1

4

AC • BC=

1

4

AC2，
∵正方形ABCD对角线AC=5

2

，
∴S_△PBC=

25

2

=12.5．（4分）

（二）证明：∵四边形PEBC为菱形，
∴EP∥BC；
∵△AGO与△CHO关于y=x对称，
∴OD⊥平分AC；
又∵AB⊥AD，
∴EC⊥CD；
又∵EC⊥PB，
∴PB∥CD；
∴四边形PBCD为平行四边形．（6分）

（三）∵OD垂直平分AC，
∴AD=CD，AE=EC，且F是AC的中点；
在Rt△ABC中，F是AC中点，且EF⊥AC、BC⊥AC，
∴EF是△ABC的中位线，即E是AB的中点，
∴AE=BE；
由于A、C关于直线y=x对称，所以当P、E重合时，△PBC的周长最小；
此时AP=BP，即S_△PBC=S_△AEC；
△ADC中，由于OD垂直平分AC，若∠ADC=60°，可得：
△ABC是等边三角形，且∠ADE=30°；
在Rt△ADE中，AF⊥DE，∠ADE=30°，易得DF=3EF；
∴S_△ADC=3S_△AEC=3S_△PBC，
故：

S△PBC

S四边形ABCD

=

1

5

．（8分）

点评：此题是反比例函数的综合题，涉及到反比例函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形及正方形的性质、线段垂直平分线的性质以及轴对称图形的性质等知识，综合性强，难度较大．