如图,已知抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,连接BC。
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)若点P为线段BC上的一点(不与B、C重合),PM∥y轴,且PM交抛物线于点M,交x轴于点N,当△BCM的面积最大时,求△BPN的周长;
(3)在(2)的条件下,当BCM的面积最大时,在抛物线的对称轴上存在点Q,使得△CNQ为直角三角形,求点Q的坐标。
解:(1)令x=0,解得y=3
∴点C的坐标为(0,3)
令y=0,解得x1=-1,x2=3
∴点A的坐标为(-1,0)
点B的坐标为(3,0)
(2)由A,B两点坐标求得直线AB的解析式为y=-x+3
设点P的坐标为(x,-x+3)(0<x<3)
∵PM∥y轴
∠PNB=90°,点M的坐标为(x,-x2+2x+3)
∴PM=(-x2+2x+3)-(-x+3)
=-x2+3x
∵
∴当x=时的面积最大
此时,点P的坐标为(,)
∴PN=,BN=,BP=
∴.
(3)求得抛物线对称轴为x=1
设点Q的坐标为(1,)
∴
① 当∠CNQ=90°时, 如图1所示
即
解得:
∴Q1(1,)
② 当∠NCQ=90°时,如图2所示
即
解得:
∴Q2(1,)
③ 当∠CQN=90°时,如图3所示
即
解得:
∴Q3(1,)Q4(1,)
科目:初中数学 来源: 题型:
学了统计知识后,小刚就本班同学上学“喜欢的出行方式”进行了一次调查。图(1)和图(2)是他根据采集的数据绘制的两幅不完整的统计图,请根据图中提供的信息解答以下问题:
(1)补全条形统计图,并计算出“骑车”部分所对应的圆心角的度数;
(2)如果全年级共600名同学,请估算全年级步行上学的学生人数;
(3)若由3名“喜欢乘车”的学生,1名“喜欢步行”的学生,1名“喜欢骑车”的学生组队参加一项活动,欲从中选出2人担任组长(不分正副),列出所有可能的情况,并求出2人都是“喜欢乘车”的学生的概率。
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科目:初中数学 来源: 题型:
如图9,在直角梯形中,∥,⊥,,,,
点沿线段从点向点运动,设.
(1)求的长;
(2)点在运动过程中,是否存在以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由;
(3)设与的外接圆的面积分别为、,若,求的最小值.
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