Question

在△ABC中，∠A=120°，K、L分别是AB、AC上的点，向△ABC的形外作正三角形BKP和CLQ．证明：PQ≥

3

2

(AB+AC)．

Answer 1

分析：应构造线段AB，AC所在的能利用特殊三角函数的直角三角形．那么应做∠A的平分线，并且过点B，C向角平分线引垂线，
得到和AB，AC有关的线段的长．然后根据PQ的不同位置得到相应判断．

解答：证明：过B，C作∠A平分线的垂线BD，CE，D，E为垂足；
过Q作QF⊥PB交直线PB于F．
则PB∥AD∥QC．
∵∠BAD=∠CAD=60°，
∴BD=

3

2

AB，CE=

3

2

AC．
∵BD+CE=QF，
∴PQ≥QF≥

3

2

（AB+AC）．
当P，F重合，即PQ⊥PB时取等号．

点评：作辅助线构造所求线段所在的特殊直角三角形是常用的辅助线方法．