Question

8．如图，已知AC，BD与⊙O相切于点A，B，且AC∥BD，若∠COD=90°，求证：CD是⊙O的切线．

Answer 1

分析 延长DO与CA的延长线相交于F，过O作OE⊥CD于E，根据切线的性质得到OA⊥AC，OB⊥BD，由AC∥BD，得到A，O，B三点共线，∠F=∠BDO，通过△BDO≌△AFO，得到OC=OF，根据等腰三角形的性质和角平分线的性质得到OE=OA，于是得到结论；

解答 证明：延长DO与CA的延长线相交于F，过O作OE⊥CD于E，
∵AC，BD是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，OB⊥BD，
∵AD∥BC，
∴A，O，B三点共线，∠F=∠BDO，
在△BDO与△AFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠BDO}\\{∠AOF=∠BOD}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△BDO≌△AFO，
∴OD=OF，
∵∠COD=90°，
∴∠COF=90°，
∴CF=CD，
∴∠OCA=∠ECO，
∴OE=OA，
∴CD是⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．