Question

10．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-4x+4与x轴，y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）上．将正方形沿y轴向下方平移m个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则m的值为$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G．作DF⊥x轴于点F，易证△OAB≌△FDA≌△BEC，求得A、B的坐标，根据全等三角形的性质可以求得C、D的坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得N的坐标，则a的值即可求解．

解答 解：作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G．作DF⊥x轴于点F．
在y=-4x+4中，令x=0，解得：y=4，即B的坐标是（0，4）．
令y=0，解得：x=1，即A的坐标是（1，0）．
则OB=4，OA=1．
∵∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠DAF=90°，
又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA=90°，
∴∠DAF=∠OBA，
在△OAB和△FDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠OBA}\\{∠BOA=∠AFD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△OAB≌△FDA（AAS），
同理，△OAB≌△FDA≌△BEC，
∴AF=OB=EC=4，DF=OA=BE=1，
故D的坐标是（5，1），C的坐标是（4，5）．代入y=$\frac{k}{x}$得：k=5，则函数的解析式是：y=$\frac{5}{x}$．
则C的横坐标是4，把x=4代入y=$\frac{5}{x}$得：y=$\frac{5}{4}$，则N点坐标为：（4，$\frac{5}{4}$），故CN=5-$\frac{5}{4}$=$\frac{15}{4}$，
∴将正方形沿y轴向下方平移$\frac{15}{4}$个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上．
故答案为：$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，正确求得C、D的坐标是关键．