Question

18．已知抛物线y=-x²+mx+m+4．
（1）求证：此抛物线与x轴总有两个不同的交点．
（2）设两个交点间的距离为d，当m为何值时，d取得最小值？并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）先计算判别式的值，再利用配方法得到△=（m+2）²+12，利用非负数的性质可得△＞0，然后根据△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数可得到结论；
（2）设抛物线与x轴的两个交点坐标（x₁，0），（x₂，0），利用根与系数的关系得到x₁+x₂=m，x₁•x₂=-（m+4），利用完全平方公式变形得到d=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，所以d=$\sqrt{{m}^{2}-4•[-（m+4）]}$=$\sqrt{（m+2）^{2}+12}$，然后根据二次函数的性质求解．

解答 （1）证明：△=m²-4×（-1）×（m+4）
=m²+4m+16
=（m+2）²+12，
∵（m+2）²≥0，
∴△＞0，
∴抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）解：设抛物线与x轴的两个交点坐标（x₁，0），（x₂，0），则x₁、x₂为方程-x²+mx+m+4=0的两根，
∴x₁+x₂=m，x₁•x₂=-（m+4），
∴d=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}-4•[-（m+4）]}$=$\sqrt{（m+2）^{2}+12}$，
当m=-2时，d最小，最小值=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：对于次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点；由二次函数的交点式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．