Question

【题目】如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4，EF为梯形的中位线，DH为梯形的高，则下列结论：①. ∠BCD=60°；②. 四边形EHCF为菱形；③ ；

④. 以AB为直径的圆与CD相切于点F.其中正确的个数是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

在直角三角形CDH中，CH=BC-BH，而四边形ABHD是矩形，故AD=BH，从而可求CH，利用30°角的性质可求∠CDH=30°，进而可求∠DCB的值；再利用梯形中位线定理可证四边形EHCF是菱形；△BEH与△EHC时等高的两个三角形，求面积比，也就是求底边的比，即BH：CH；在△CDH中利用勾股定理，可求DH，即AB的值，用其一半与EF比较，相等则切于F，否则不成立．

解：在Rt△DCH中，CD=4，CH=CB-BH=2，

∴∠CDH=30°,

∴∠BCD=60°，故①正确；

在四边形EHCF中，

∵EF为梯形的中位线，

∴CH=EF=2，CH∥EF，CF=CD=2，

∴四边形EHCF为平行四边形，

∵CH=CF=2,

∴四边形EHCF是菱形，故②正确；

∵S△BEH=BHEB=×1×EB=EB，

S△CEH=CHEB=×2×EB=EB，

∴S△BEH=S△CEH．故③正确；

以AB的直径的圆的半径为,而EF=2，R≠EF．所以AB为直径的圆与CD不相切于点F．故④不正确；

故选C．