Question

5．如图，AE、BD是△ABM的高，AE、BD交于点C，AE=BE，BD平分∠ABM．
（1）求证：△BCE≌△AME；
（2）求证：BC=2AD；
（3）求∠MDE的度数．

Answer 1

分析 （1）由AE、BD是△ABM的高，∠ADB=∠AEB=∠AEM=90°，由∠ACD=∠ECB，∠MAE+∠ADC+∠ACD=180°，∠CBE+∠ECB+∠CEB=180°，得到∠MAE=∠CBE，即可证明△BCE≌△AME；
（2）证△ABD≌△MBD，推出AD=DM=$\frac{1}{2}$AM，由△AME≌△BCE，推出AM=BC，即可得出答案．
（3）根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．

解答 解：（1）∵AE、BD是△ABM的高，
∴∠ADB=∠AEB=∠AEM=90°，
∵∠ACD=∠ECB，∠MAE+∠ADC+∠ACD=180°，∠CBE+∠ECB+∠CEB=180°，
∴∠MAE=∠CBE，
在△AME和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAE=∠CBE}\\{AE=BE}\\{∠AEM=∠BEC}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△BCE（ASA）．
（2）∵BD平分∠ABM，BD是高，
∴∠ABD=∠MBD，∠ADB=∠MDB=90°，
∵在△ABD和△MBD中，
 $\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠MDB}\\{∠BD=BD}\\{∠ABD=∠MBD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△MBD（ASA），
∴AD=DM=$\frac{1}{2}$AM，
∵△AME≌△BCE，
∴AM=BC，
∴BC=2AD．
（3）∵AE是△ABM的高，AE=BE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
∵BD平分∠ABM，
∴∠ABD=∠MBD=22.5°，
∵BD是△ABM的高，
∴∠MAE=∠MBD=22.5°，
∴∠MAB=∠M=∠BCE=67.5°，
∵AD=MD，
∴DE=AD=MD，
∴∠MDE=180°-2×67.5°=45°．

点评 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据相等的度数求出相等的角从而判断出等腰三角形和三角形全等的条件是解题的关键．