Question

对整系数的二次函数f（x）=x²+ax+b，方程f（x）=0的解α与β满足不等式α＞1，-1＜β＜1．
（1）写出a与b满足的不等式；
（2）当a固定时，在（1）的关系满足时，求使α为最小时的b，把它用a表示出来；
（3）在（1）的关系满足时求使α为最小时的a与b的值，并求此α的最小值．

Answer 1

解：（1）依题意，得f（-1）＞0且f（1）＜0，
即1-a+b＞0，1+a+b＜0，
解得a＜-b-1或a＜b+1；
（2）由已知得α＞β，由求根公式可知α=，
∴当a固定时，b最大时，α最小，由（1）的范围可知a＜-b-1；
（3）由α=，可知α最小时，a最大，b最大，
由（1）可知：a＜b+1；
此时a=b，当△=a²-4b=0时，α最小，解得a=b=4，α=-2．
分析：（1）抛物线开口向上，故当f（-1）＞0且f（1）＜0，即当1-a+b＞0，1+a+b＜0时，满足条件，依此列不等式即可；
（2）由已知得α＞β，由求根公式可知α=，β=，由此可知，当a固定时，b最大时，α最小，由（1）的范围可知a＜-b-1；
（3）由求根公式α=，可知α最小时，a最大，b最大，此时，（1）中两个不等式解集公共部分为a＜b+1，根据a、b为整数得出a=b，利用△=0求解．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据二次函数与x轴的交点范围求出a、b的大小关系，利用求根公式进行讨论．