Question

【题目】如图，为的直径，为的切线，，交于点，为弧的中点，连接，交于点．

(1)求证：为的切线；

(2)求证：；

(3)若 ，求．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

【解析】

（1）连接OD，根据平行线的性质和等腰三角形的性质，得出相等的边和角，然后判断出△CDO≌△CBO，判断出∠CDO是直角即可解决.
（2）根据圆周角定理的推论，判断出∠ADB为90°，再结合平行线的性质得出相等的角，根据相似三角形的判定方法证明△ABD∽△OCB，然后根据相似三角形的性质列出比例式，将比例式变形即可解决.
（3）过点D向AB作垂线，设，根据射影定理，得出AG的长度，计算出OG的长度，根据勾股定理计算出DG的长度，由垂径定理得出∠AOE的度数，然后结合平行线的性质得出相似三角形，列出比例式，即可解决.

（1）连接，

为⊙的切线，
.

，

.

，

.

.

.

，，

.

，

即.

为⊙的切线；

（2）连接，

为⊙的直径，

.

又，

.

.

，

又∵AB=2OB=2OA，OA=OB，

∴；

（3）作，垂足为，设.

，，

.

，

，

，

.

，

.

为的中点，

，

.

，

.

.

.