Question

如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．
（1）求BP、CQ、AR的长．
（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线性质得出OR=OQ=OP，根据勾股定理起床AR=AQ，CQ=CP，BR=BP，得出方程组，求出即可；
（2）过O作OM⊥AC于肘，ON⊥AB于N，求出OM=ON，证出△FON≌△EOM即可．

解答：解：
连接AO，OB，OC，
∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A、∠B的角平分线交于点O，
∴OR=OQ，OR=OP，
∴由勾股定理得：AR²=OA²-OR²，AQ²=AO²-OQ²，
∴AR=AQ，
同理BR=BP，CQ=CP，
即O在∠ACB角平分线上，
设BP=BR=x，CP=CQ=y，AQ=AR=z，
则

x+z=7 x+y=8 y+z=9

x=3，y=5，z=4，
∴BP=3，CQ=5，AR=4．
（2）
过O作OM⊥AC于肘，ON⊥AB于N，
∵O在∠A的平分线，
∴OM=ON，∠ANO=∠AMO=90°，
∵∠A=60°，
∴∠NOM=120°，
∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上，
∴∠EBC+∠FCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

×（180°-∠A）=60°，
∴∠FON=∠EOM，
在△FON和△EOM中

∠ONF=∠OME ON=OM ∠FON=∠EOM

∴△FON≌△EOM，
∴OE=OF．

点评：本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．