Question

如图，直线y=hx+d与x轴和y轴分别相交于点A(-1,0),B(0,1),与双曲线y=在第一象限相交于点C；以AC为斜边、为内角的直角三角形，与以CO为对角线、一边在x轴上的矩形面积相等；点C,P在以B为顶点的抛物线y=上；直线y=hx+d、双曲线y=和抛物线同时经过两个不同的点C，D

（1）确定t的值

（2）确定m , n , k的值

（3）若无论a , b , c何值，抛物线都不经点P，请确定P坐标（12分）

 

Answer 1

 

（1）2

（2）m=1 n=0 k=1

（3）符合条件的点P为（0，1）或（－2，5）

解析:解：

（1）直线过点A，B，则0=－h+d和1=d,即y=x+1.    1分

双曲线y=经过点C（x1，y1），x1y1=t．

     以AC为斜边，∠CAO为内角的直角三角形的面积为×y1×(1+x1);

以CO为对角线的矩形面积为x1y1，

×y1×(1+x1)＝x1y1，因为x1，y1都不等于0，故得x1＝1，所以y1=2.

故有，，即t=2.     2分

（2）∵B是抛物线y＝mx2＋nx＋k的顶点，∴有－ ，

得到n=0，k=1.   3分

∵C是抛物线y＝mx2＋nx＋k上的点，∴有2＝m(1)2+1,得m=1．    4分

（3）设点P的横坐标为p，则纵坐标为p2+1.

∵抛物线y=ax2+bx+c经过两个不同的点C，D，

其中求得D点坐标为（－2，－1）． 5分.

解法一：

故 2＝a＋b＋c，

－1＝4a－2b＋c．    

解之得，b＝a＋1, c＝1－2a. 6分

（说明：如用b表示a，c，或用c表示a，b，均可，后续参照得分）

∴y=ax2＋( a＋1)x＋（1－2a ）       

于是： p2+1≠a p2＋（a＋1）p＋（1－2a）    7分

∴无论a取什么值都有p2－p≠（p2＋p－2）a．  8分

（或者，令p2-p=(p2+p-2)a    7分

∵抛物线y=ax2+bx+c不经过P点，

∴此方程无解，或有解但不合题意  8分） 

故∵a≠０，∴①

解之p＝0，p＝1，并且p≠1，p≠－2.得p＝0.   9分

∴符合题意的P点为（0，1）. …………10分

②，解之p＝1，p＝－2，并且p≠0，p≠1.

得p＝－2.   11分

符合题意的P点为（－2，5）． 12分

∴符合题意的P点有两个（0，1）和（－2，5）.

解法二：

则有（a－1）p2+(a+1) p－2a=0    7分

即〔（a－1）p+2a〕(p－1)=0

有p－1=0时，得p=1，为（1，2）此即C点，在y=ax2+bx+c上.    8分

或（a－1）p+2a=0，即（p+2）a=p

当p=0时a=0与a≠0矛盾 9分

得点P（0，1）   10分

或者p=－2时，无解  11分

得点P（－2，5） 12分

故对任意a，b，c，抛物线y=ax2+bx+c都不经过（0，1）和（－2，5）

解法三：

如图, 抛物线y=ax2+bx+c不经过直线CD上除C，D外的其他点．

(只经过直线CD上的C，D点). 6分

由 7分

解得交点为C（1，2），B（0，1）．

故符合题意的点P为（0，1）.     8分

抛物线y=ax2+bx+c不经过直线x＝－2上除D外的其他点. 9分

由     10分

解得交点P为（－2，5）．……11分

抛物线y=ax2+bx+c不经过直线x＝1上除C外的其他点,

而解得交点为C（1，2）. ……12分

故符合条件的点P为（0，1）或（－2，5）.

（说明：1.仅由图形看出一个点的坐标给1分，二个给2分. 2.解题过程叙述基本清楚即可）