Question

20．如图，已知直线y=$\frac{1}{2}$x-2与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线与轴交于另一点B（1，0）．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）在直线y=$\frac{1}{2}$x-2上方的抛物线上存在一动点D，连接AD、CD，设点D的横坐标为m，△DCA的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）在抛物线上是否存在一点M，使得以M为圆心，以$\frac{4\sqrt{5}}{5}$为半径的圆与直线AC相切？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）在y轴的正半轴上存在一点P，使∠APB的值最大，请直接写出当∠APB最大时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求得C（0，-2）、A（4，0），设抛物线的解析式为y=a（x-4）（x-1），将点C的坐标代入可求得a的值；
（2）过点D作y轴的平行线交AC与E，则点D（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2），E（m，$\frac{1}{2}$m-2）．则DE=-$\frac{1}{2}$m²+2m，然后利用三角形的面积公式可得到S与m的函数关系式，然后利用二次函数的性质可得到△DCA的面积的最大值；
（3）先依据勾股定理可求得AC的长，然后可得到△ACM的面积=4，当点M在AC的上时，由（2）可知M（2，1）．当点M在AC的下方时，过点M作y轴的平行线交AC与E，则点M（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2），E（m，$\frac{1}{2}$m-2）．则ME=$\frac{1}{2}$m²-2m，然后可得到S与m的函数关系式，将s=4代入可求得m的值，从而得到点M的坐标；
（4）过点A作AE⊥PB，垂足为E．设点P的坐标为（0，a）．依据勾股定理得：AP=$\sqrt{{a}^{2}+16}$．然后再求得BP、AE的解析式，从而可求得点E的坐标，然后由sin∠APB=$\frac{AE}{AP}$，得到sin²∠APB$\frac{9}{{a}^{2}+\frac{16}{{a}^{2}}+17}$，故此当a=$\frac{4}{a}$时，sin∠APB有最大值，从而可求得a的值．

解答 解：（1）把x=0代入y=$\frac{1}{2}$x-2得：y=-2．
∴C（0，-2）．
把y=0代入得：$\frac{1}{2}$x-2=0，解得：x=4．
∴A（4，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x-4）（x-1），将点C的坐标代入得：4a=-2，解得：a=-$\frac{1}{2}$．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2．

（2）过点D作y轴的平行线交AC与E，则点D（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2），E（m，$\frac{1}{2}$m-2）．

∴DE=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2-（$\frac{1}{2}$m-2）=-$\frac{1}{2}$m²+2m．
∴△DAC的面积S=$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$m²+2m）=-m²+4m．
∴当m=2时，S的最大值为4．
∴S与m的关系式为S=-m²+4m，△DCA的最大面积为4．

（3）∵⊙M与AC相切，
∴△AMC的AC边上的高为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∵AC=2，OA=4，
∴AC=2$\sqrt{5}$．
∴S_△ACM=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×$\frac{4\sqrt{5}}{5}$=4．
当点M在AC的上时，由（2）可知：当m=2．
∴点M的坐标为（2，1）．
当点M在AC的下方时，过点M作y轴的平行线交AC与E，则点M（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2），E（m，$\frac{1}{2}$m-2）．

∴ME=（$\frac{1}{2}$m-2）-（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2）=$\frac{1}{2}$m²-2m．
∴△MAC的面积S=$\frac{1}{2}$×4×（$\frac{1}{2}$m²-2m）=m²-4m．
∴m²-4m=4，整理得：m²-4m-4=0，解得：m=2+2$\sqrt{2}$或m=2-2$\sqrt{2}$．
∴点M的坐标为（2+2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-3）或（2-2$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$-3）．

（4）如图3所示：过点A作AE⊥PB，垂足为E．

设点P的坐标为（0，a）．依据勾股定理得：AP=$\sqrt{{a}^{2}+16}$．
设直线BP的解析式为y=kx+a，将点B的坐标代入得：k+a=0，解得：k=-a．
∴直线PB的解析式为y=-ax+a．
设直线AE的解析式为y=$\frac{1}{a}$x+b，将点A的坐标代入得：$\frac{4}{a}$+b=0，解得：b=-$\frac{4}{a}$．
∴直线AE的解析式为y=$\frac{1}{a}$x-$\frac{4}{a}$．
将y=-ax+a与y=$\frac{1}{a}$x-$\frac{4}{a}$联立，解得：x=$\frac{{a}^{2}+4}{{a}^{2}+1}$，y=$\frac{-3a}{{a}^{2}+1}$．
∴点E的坐标为（$\frac{{a}^{2}+4}{{a}^{2}+1}$，$\frac{-3a}{{a}^{2}+1}$）．
∴AE=$\sqrt{（\frac{{a}^{2}+4}{{a}^{2}+1}-4）^{2}+（\frac{-3a}{{a}^{2}+1}）^{2}}$．
∵sin∠APB=$\frac{AE}{AP}$，
∴sin²∠APB=$\frac{（\frac{{a}^{2}+4}{{a}^{2}+1}-4）^{2}+（\frac{-3a}{{a}^{2}+1}）^{2}}{{a}^{2}+16}$=$\frac{9{a}^{2}}{（{a}^{2}+1）（{a}^{2}+16）}$=$\frac{9}{（1+\frac{1}{{a}^{2}}）（{a}^{2}+16）}$=$\frac{9}{{a}^{2}+\frac{16}{{a}^{2}}+17}$．
∵a²+$\frac{16}{{a}^{2}}$≥2×a•$\frac{4}{a}$=8，
∴当a=$\frac{4}{a}$时，sin∠APB有最大值，解得a=2或a=-2（舍去）．
∴当a=2时，∠APB有最大值．
∴P（0，2）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的最值、解一元二次方程，锐角三角函数的定义以及正弦函数的增减性，求得sin∠APB取得最大值的条件是解题的关键．