Question

如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（-2，0），B（6，0），C（0，3）．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）过C点作CD平行于x轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD、BC的交点E的坐标；
（3）若抛物线的顶点为P，连接PC、PD，判断四边形CEDP的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由A、B、C三点的坐标适合抛物线的解析式，从而用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）联立直线AD、BC的解析式，求出交点E的坐标；
（3）四边形CEDP为菱形，可根据P、C、E、D四点的坐标，证四边形CEDP的对角线互相垂直平分．

解答：解：（1）由于抛物线经过点C（0，3），
可设抛物线的解析式为y=ax²+bx+3（a≠0），
则

4a-2b+3=0 36a+6b+3=0

，
解得

a=- 1 4 b=1

；
∴抛物线的解析式为y=-

1

4

x2+x+3．（4分）

（2）∵D_纵=C_纵=3，
∴D_横=4
即可得D的坐标为D（4，3），（5分）
直线AD的解析式为y=

1

2

x+1，
直线BC的解析式为y=-

1

2

x+3，
由

y= 1 2 x+1 y=- 1 2 x+3

求得交点E的坐标为（2，2）．（8分）

（3）连接PE交CD于F，
P的坐标为（2，4），
又∵E（2，2），C（0，3），D（4，3），
∴PF=EF=1，CF=FD=2，且CD⊥PE，
∴四边形CEDP是菱形．（12分）

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法以及菱形的判定方法，难度不大，细心求解即可．