分析 (1)由∠ADE=∠ABC,得到∠ADF=∠DBF 由于∠AFD=∠BFD,于是得到结论;
(2)在△ABC与△ADB中,由于$\frac{AB}{BD}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$,$\frac{BC}{AB}$=$\frac{9}{6}$=$\frac{3}{2}$,于是得到$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{AB}$,由∠ABD是公共角,于是证得△ABC∽△ADB,即可得到结论;
(3)由(1)知△DBF∽△ADF,根据相似三角形的性质得到$\frac{BF}{DF}=\frac{DF}{AF}$=$\frac{BD}{AD}$,求得$\frac{BF}{DF}=\frac{DF}{AF}$=$\frac{4}{\frac{16}{3}}$=$\frac{3}{4}$,于是得到DF2=BF•AF=BF(BA+BF),列方程即可求得结果.
解答 (1)证明:∵∠ADE=∠ABC,
∴∠ADF=∠DBF
∵∠AFD=∠BFD,
∴△DBF∽△ADF;
(2)∵在△ABC与△ADB中,
∵$\frac{AB}{BD}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$,$\frac{BC}{AB}$=$\frac{9}{6}$=$\frac{3}{2}$,
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{AB}$,
∵∠ABD是公共角,
∴△ABC∽△ADB,
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{BD}=\frac{3}{2}$;
(3)由(1)知△DBF∽△ADF,
∴$\frac{BF}{DF}=\frac{DF}{AF}$=$\frac{BD}{AD}$,
∵$\frac{AC}{AD}$=$\frac{3}{2}$,AC=8,
∴AD=$\frac{16}{3}$,
∴$\frac{BF}{DF}=\frac{DF}{AF}$=$\frac{4}{\frac{16}{3}}$=$\frac{3}{4}$,
∴DF2=BF•AF=BF(BA+BF),
∴$\frac{DF}{AF}=\frac{\sqrt{BF(AB+BF)}}{AB+BF}$=$\frac{3}{4}$,
∴$\frac{BF}{6+BF}=\frac{9}{16}$,
解得:BF=$\frac{54}{7}$.
点评 本题考查了相似三角形的判定和性质,三角形外角的性质,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
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划分次数 | 扇形总个数 |
1 | 6 |
2 | 11 |
3 | 16 |
4 | 21 |
… | … |
n | 5n+1 |
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